1、板块命题点专练（十）命题点一合情推理与演绎推理命题指数：难度：中、低题型：选择题、填空题1(2014陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_解析：三棱柱中5692；五棱锥中66102；立方体中68122，由此归纳可得FVE2答案：FVE22(2014全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市
2、或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市答案：A3(2015陕西高考)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_解析：等式的左边的通项为，前n项和为1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为答案：1命题点二直接证明与间接证明命题指数：难度：高、中题型：解答题1(2014江西高考)已知数列an 的前 n项和 Sn，nN*(1)求数列an 的通项公式；(2)证明：对任意的n1，都存在mN* ，使得 a1，an，am成等比数列解：(1)由Sn，得a1S11，当n2时，anSnSn13n2，当n1时也适合所以数列an的通项公式为：an3n2(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要
3、aa1am，即(3n2)21(3m2)，即m3n24n2，而此时mN*，且mn所以对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列2(2015北京高考节选)已知数列an满足：a1N*，a136，且an1(n1,2，)记集合Man|nN*(1)若a16，写出集合M的所有元素；(2)若集合M存在一个元素是3 的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数解：(1)6,12,24(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数由an1可归纳证明对任意nk，an是3的倍数如果k1，则M的所有元素都是3的倍数如果k1，因为ak2ak1或ak2ak136，所以2ak1是3的倍数，于
4、是ak1是3的倍数类似可得，ak2，a1都是3的倍数从而对任意n1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数命题点三数学归纳法命题指数：难度：高题型：解答题(2015陕西高考)设fn(x)是等比数列1，x，x2，xn的各项和，其中x0，nN，n2(1)证明：函数Fn(x)fn(x)2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xnx；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明解：(1)证明：Fn(x)fn(x)21xx2xn2，则Fn(1)n1
5、0，Fn12n220，所以Fn(x)在内至少存在一个零点又Fn(x)12xnxn10，故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)0，即20，故xnx(2)由题设，fn(x)1xx2xn，gn(x)，x0当x1时，fn(x)gn(x)当x1时，用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x)当n2时，f2(x)g2(x)(1x)20，所以f2(x)g2(x)成立假设nk(k2)时，不等式成立，即fk(x)gk(x)那么，当nk1时，fk1(x)fk(x)xk1gk(x)xk1xk1又gk1(x)，令hk(x)kxk1(k1)xk1(x0)，则hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1k(k1)xk1(x1)所以当0x1时，hk(x)0，hk(x)在(0,1)上递减；当x1时，hk(x)0，hk(x)在(1，)上递增所以hk(x)hk(1)0，从而gk1(x)故fk1(x)gk1(x)，即nk1时不等式也成立由和知，对一切n2的整数，都有fn(x)gn(x)