1、第九节圆锥曲线中的最值、范围、证明问题本节主要包括3个知识点：1.圆锥曲线中的最值问题；2.圆锥曲线中的范围问题；3.圆锥曲线中的几何证明问题.突破点(一)圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个些参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用几何性质求最值例1 设P是椭圆 x225 y29 1上一点，M
2、，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12 B8,11C8,12 D10,12解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8,12.答案 C方法技巧利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法 建立目标函数求最值例 2 已知ABP 的三个顶
3、点都在抛物线 C：x24y 上，F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB 的中点，PF 3FM.(1)若|PF|3，求点 M 的坐标；(2)求ABP 面积的最大值解(1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y1.设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|y01，得 y02，所以 P(2 2，2)或 P(2 2，2)，由PF 3FM，得 M2 23，23 或 M2 23，23.解 设直线 AB 的方程为 ykxm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由ykxm，x24y，得 x24kx4m0.于是 16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以 AB 中点 M
4、的坐标为(2k,2k2m)由PF 3FM，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以x06k，y046k23m.(2)求ABP 面积的最大值由x204y0得k215m 415，由0，k20，得13m43.又因为|AB|1k2 x1x224x1x24 1k2 k2m，点F(0,1)到直线AB的距离为d|m1|1k2，所以SABP4SABF8|m1|k2m 1615 3m35m2m1.记f(m)3m35m2m113f43 59.所以当m19时，f(m)取到最大值256243，此时k 5515.所以ABP面积的最大值为256 5135.方法技巧(1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象
5、性质来求解(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等 利用基本不等式求最值例 3(2017太原模拟)已知椭圆 M：x2a2y231(a0)的一个焦点为 F(1,0)，左、右顶点分别为 A，B.经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D 两点(1)当直线 l 的倾斜角为 45时，求线段 CD 的长；(2)记ABD 与ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1S2|的最大值解(1)由题意，c1，b23，所以 a24，所以椭圆 M 的方程为x24 y231，易求直线方程为 yx1，联立
6、方程，得x24 y231，yx1，消去 y，得 7x28x80，设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，288，x1x287，x1x287，所以|CD|2|x1x2|2x1x224x1x2247.解 当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x1，此时ABD 与ABC 面积相等，|S1S2|0；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 yk(x1)(k0)，联立方程，得x24 y231，ykx1，消去 y，得(34k2)x28k2x4k2120，0，且 x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2，(2)记ABD 与ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1S2|的最大值此时|S1S2
7、|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x2x1)2k|12|k|34k2，因为 k0，上式123|k|4|k|1223|k|4|k|122 12 3当且仅当k 32 时等号成立，所以|S1S2|的最大值为 3.方法技巧(1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.考点一如图所示，已知直线 l：ykx2 与抛物线 C：x22py(p0)交于 A，B 两点，O为坐标原点，OAO
8、B(4，12)(1)求直线 l 和抛物线 C 的方程；(2)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时，求ABP 面积的最大值解：(1)由ykx2，x22py，得 x22pkx4p0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.因为OAOB(x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)(4，12)，所以2pk4，2pk2412，解得p1，k2.所以直线 l 的方程为 y2x2，抛物线 C 的方程为 x22y.解：设 P(x0，y0)，依题意，知抛物线过点 P 的切线与 l 平行时，ABP 的面积最大，又 yx，所以x02，故 x02，y012x
9、202，所以 P(2，2)此时点 P 到直线 l 的距离 d|2222|2212 454 55.由y2x2，x22y，得 x24x40，故 x1x24，x1x24，所 以|AB|1k2 x1x224x1x2 122 42444 10.所以ABP 面积的最大值为4 104 5528 2.(2)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时，求ABP 面积的最大值2.平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，左、右焦点分别是 F1，F2.以 F1 为圆心、以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心、以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C上(1)求椭圆 C 的方
10、程；(2)设椭圆 E：x24a2 y24b21，P 为椭圆 C 上任意一点过点 P 的直线 ykxm 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.求|OQ|OP|的值；求ABQ 面积的最大值考点二解：(1)由题意知 2a4，则 a2.又ca 32，a2c2b2，可得 b1，所以椭圆 C 的方程为x24 y21.解：由(1)知椭圆 E 的方程为x216y241.设 P(x0，y0)，|OQ|OP|，由题意知 Q(x0，y0)因为x204 y201，又x0216y0241，即24 x204 y20 1，所以 2，即|OQ|OP|2.(2)设椭圆 E：x24a2 y24b21，P
11、 为椭圆 C 上任意一点过点 P 的直线 ykxm 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.求|OQ|OP|的值；求ABQ 面积的最大值设 A(x1，y1)，B(x2,y2)将 ykxm 代入椭圆 E 的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由 0，可得 m2416k2.(*)则有 x1x2 8km14k2，x1x24m21614k2.所以|x1x2|4 16k24m214k2.因为直线 ykxm 与 y 轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB 的面积 S12|m|x1x2|2 16k24m2|m|14k22 16k24m2m214k2 2 4m214k2m21
12、4k2.设m214k2t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)(*)可知0|FM|，点 N 的轨迹 E 为椭圆，且 2a4，c 3，b1，轨迹 E 的方程为x24 y21.解：当 AB 为长轴(或短轴)时，SABC12|OC|AB|2.当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 ykx，A(xA，yA)，由题意，C 在线段 AB 的中垂线上，则 OC 的方程为 y1kx.联立方程x24 y21，ykx得，x2A414k2，y2A 4k214k2，|OA|2x2Ay2A41k214k2.(2)设点 A，B，
13、C 在 E 上运动，A 与 B 关于原点对称，且|AC|BC|，当ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程将上式中的k替换为1k，可得|OC|241k2k24.SABC2SAOC|OA|OC|41k214k241k2k2441k214k2k24.14k2k2414k2k24251k22，SABC 85，当且仅当14k2k24，即k1时等号成立，此时ABC面积的最小值是85.285，ABC面积的最小值是85，此时直线AB的方程为yx或yx.突破点(二)圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别
14、式法.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用判别式构造不等关系求范围例 1 已知 A，B，C 是椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)上的三点，其中点 A 的坐标为(2 3，0)，BC 过椭圆的中心，且 ACBC0，|BC|2|AC|.(1)求椭圆 M 的方程；(2)过点(0，t)的直线 l(斜率存在时)与椭圆 M 交于两点 P，Q，设 D 为椭圆 M 与 y 轴负半轴的交点，且|DP|DQ|，求实数 t的取值范围解(1)因为|BC|2|AC|且 BC 过(0,0)，则|OC|AC|.因为 ACBC0，所以OCA90，即 C(3，3)又因为 a2 3，设椭圆的方程为x212y212c21，将
15、C 点坐标代入得 312312c21，解得 c28，b24.所以椭圆的方程为x212y241.解 由条件 D(0，2)，当 k0 时，显然2t0 可得 t21，将代入得，1tb0)的离心率为 22，过点 M(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，|MA|MB|，且当直线 l 垂直于 x 轴时，|AB|2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 12，2，求弦长|AB|的取值范围解(1)由已知 e 22，得ca 22，又当直线垂直于 x 轴时，|AB|2，所以椭圆过点1，22，代入椭圆方程得 1a2 12b21，a2b2c2，联立方程可得 a22，b21，椭圆 C 的方程为x22 y21
16、.解 当过点 M 的直线斜率为 0 时，点 A，B 分别为椭圆长轴的端点，|MA|MB|212132 22 或|MA|MB|212132 20)的左、右焦点，若 P 是该椭圆上的一个动点，且1PF 2PF 的最大值为 1.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 l：xky1 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求 k 的取值范围考点一解：(1)易知 a2，c 4b2，b20，故 y1y2 2kk24，y1y2 3k24.又AOB 为锐角，故OAOBx1x2y1y20，又 x1x2(ky11)(ky21)k2y1y2k(y1y2)1，所以x1x2y1y2(1k
17、2)y1y2k(y1y2)1(1k2)34k2 2k24k2133k22k24k24k214k24k2 0，所以k214，解得12k12，故k的取值范围是12，12.2.考点二已知圆心为 H 的圆 x2y22x150 和定点 A(1,0)，B 是圆上任意一点，线段 AB 的中垂线 l 和直线 BH 相交于点 M，当点 B 在圆上运动时，点 M 的轨迹记为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)过点 A 作两条相互垂直的直线分别与曲线 C 相交于 P，Q 和E，F，求PEQF 的取值范围解：(1)由 x2y22x150，得(x1)2y216，所以圆心为 H(1,0)，半径为 4.连接 MA，由 l
18、 是线段 AB 的中垂线，得|MA|MB|，所以|MA|MH|MB|MH|BH|4，又|AH|21，于是上式化简整理可得，PEQF 9t14t113t1 63t212t2t163494 1t122.由 t1，得 01t1，所以214 0)，依题意，圆心 C 的坐标为(2，r)|MN|3，r232222，解得 r2254.r52，圆 C 的方程为(x2)2y522254.解 证明：把 x0 代入方程(x2)2y522254，解得 y1 或 y4，即点 M(0,1)，N(0,4)当 ABx 轴时，可知ANMBNM0.当 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为 ykx1.联立方程ykx1
19、，x28 y241，消去 y 得，(12k2)x24kx60.设直线 AB 交椭圆于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 x1x24k12k2，x1x2 612k2.(2)过点 M 任作一条直线与椭圆x28 y241 相交于两点 A，B，连接 AN，BN，求证：ANMBNM.kANkBN y14x1 y24x2 kx13x1 kx23x22kx1x23x1x2x1x2.若kANkBN0，则ANMBNM.2kx1x23(x1x2)12k12k2 12k12k20，ANMBNM.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1设椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，F1，F2 是椭
20、圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且MF1F2 的周长是 42 3.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)设椭圆 C1 的左、右顶点分别为 A，B，过椭圆 C1 上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E，若点 C 满足ABBC，ADOC，连接 AC 交 DE 于点 P，求证：PDPE.解：(1)由 e 32，知ca 32，所以 c 32 a，因为MF1F2 的周长是 42 3，所以 2a2c42 3，所以 a2，c 3，所以 b2a2c21，所以椭圆 C1 的方程为：x24 y21.解：证明：由(1)得 A(2,0)，B(2,0)，设 D(x0，y0)，所以 E(x0,0)，因为 ABB
21、C，所以可设 C(2，y1)，所以AD(x02，y0)，OC(2，y1)，由ADOC 可得：(x02)y12y0，即 y1 2y0 x02.(2)设椭圆 C1 的左、右顶点分别为 A，B，过椭圆 C1 上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E，若点 C 满足ABBC，ADOC，连接 AC 交 DE 于点 P，求证：PDPE.所以直线 AC 的方程为：y2y0 x02x24.整理得：yy02x02(x2)又点 P 在 DE 上，将 xx0 代入直线 AC 的方程可得：yy02，即点 P 的坐标为x0，y02，所以 P 为 DE 的中点，所以 PDPE.2(2017福州模拟)已知点 A(4
22、,0)，直线 l：x1 与 x 轴交于点 B，动点 M 到 A，B 两点的距离之比为 2.(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)设 C 与 x 轴交于 E，F 两点，P 是直线 l 上一点，且点 P不在 C 上，直线 PE，PF 分别与 C 交于另一点 S，T，证明：A，S，T 三点共线解：(1)设点 M(x，y)，依题意，|MA|MB|x42y2x12y22，化简得 x2y24，即轨迹 C 的方程为 x2y24.解：证明：由(1)知曲线 C 的方程为 x2y24，令 y0 得 x2，不妨设 E(2，0)，F(2,0)，如图所示设 P(1，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，则直线
23、 PE 的方程为 yy0(x2)，由yy0 x2，x2y24得(y201)x24y20 x4y2040，所以2x14y204y201，即 x122y20y201，y1 4y0y201.(2)设 C 与 x 轴交于 E，F 两点，P 是直线 l 上一点，且点 P 不在 C 上，直线 PE，PF 分别与 C 交于另一点 S，T，证明：A，S，T 三点共线直线PF的方程为yy03(x2)，由yy03x2，x2y24得(y209)x24y20 x4y20360，所以2x24y2036y209，即x22y2018y209，y2 12y0y209.所以 kAS y1x144y0y20122y20y201
24、4 2y0y203，kAT y2x2412y0y2092y2018y209 4 2y0y203，所以 kASkAT，所以 A，S，T 三点共线全国卷5年真题集中演练明规律1.(2014新课标全国卷)已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；解：(1)设 F(c,0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca 32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x24 y21.解：当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将 ykx2
25、 代入x24 y21，得(14k2)x216kx120.当 16(4k23)0，即 k234时，x1,28k2 4k234k21.从而|PQ|k21|x1x2|4 k21 4k234k21.(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点当OPQ的面积最大时，求 l 的方程又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21.所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，SOPQ 4tt24 4t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k 72 时等号成立，且满足 0.所以，当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y 72 x2 或 y 72 x2
26、.2(2013新课标全国卷)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)右焦点的直线 xy 30 交 M 于 A，B两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为12.(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，y2y1x2x11，由此可得b2x2x1a2y2y1y2y1x2x11.因为 x1x22x0，y1y22y0，y0 x012，所以 a22b2.又由题意知，M 的右
27、焦点为(3，0)，故 a2b23.因此 a26，b23.所以 M 的方程为x26 y231.解：由xy 30，x26 y231，解得x4 33，y 33，或x0，y 3.因此|AB|4 63.由题意可设直线 CD 的方程为 yxn5 33 n 3，设 C(x3，y3)，D(x4，y4)由yxn，x26 y231得 3x24nx2n260.(2)C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值于是x3,42n 29n23.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|2|x4x3|43 9n2.由已知，四边形ACBD的面积S 12|CD|AB|8 699n2.当n0时，S取得最大值，最大值为8 63.所以四边形ACBD面积的最大值为8 63.