1、第6讲空间坐标系与空间向量1下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是()A.32B. C.0D.02已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点N为B1B的中点，则|MN|()A.a B.a C.a D.a3(2017年新课标)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.4(2018年安徽合肥质检)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则()的最大值为()A. B1 C. D.5(多选)已知四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体则下列结论正确的是()A()23
2、2B.()0C向量与向量的夹角是120D正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|6三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_7(2015年浙江)如图X861，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_图X861图X8628(2016年浙江)如图X862，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90.沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_9(2017年江苏)如图X863，在平行六面体ABCDA1B
3、1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值图X86310如图X864，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是梯形，ABCD，BCCD，ABPD4，CD2，AD2 ，M为CD的中点，N为PB上一点，且(01)(1)若时，求证：MN平面PAD；(2)若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值图X864第6讲空间坐标系与空间向量1D2A解析：.|a.3C解析：方法一，以B为原点，建立如图D220所示的空间直角坐标系 图D220则B(0,0,0)
4、，B1(0,0,1)，C1(1,0,1)又在ABC中，ABC120，AB2，则A(1，0)(1，1)，(1,0,1)，则cos，因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.方法二，如图D221，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PNBC1，MNAB1，AB1与BC1所成的角是MNP或其补角AB2，BCCC11，MNAB1，NPBC1.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，则可知PQM为直角三角形，且PQ1，MQAC，在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，AC，则MQ，则MQP中，MP，则PMN中，cosPNM，又异面直线所成角范围为，则余弦值为.4B解析：
5、由正方体性质知0，则().建立如图D221所示的空间直角坐标系，则B(1,1,0)，C(0,1,0)设点E(x，y,0)，则(x，y1,0)，(1,1,0)(x，y1,0)(1,1,0)xy1.易知当E位于点B时，xy有最大值2.因此的最大值为211.图D221图D2225ABC解析：不妨设正方体的棱长为1，以，为正交基底，建立如图D222所示的空间直角坐标系Dxyz，则各点坐标为A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)(0,0，1)(1,0,0)(0,1,0)(1,1，1)，()2|23，323|231
6、23，故A正确；(1,1，1)，(0,1,1)，()0110，故B正确；(1,0,1)，(0,1，1)，0011，|，|，cos ，向量与向量的夹角是120，故C正确；ABAA1，所以0，所以|0|0，故D错误故选ABC.6.解析：设该三棱柱的边长为1，依题意有，则|2()22222cos 603.|2()2222222.而()()111.cos，.7.解析：如图D223，连接DN，取DN中点P，连接PM，PC，则可知PMC为异面直线AN，CM所成的角，易得PMAN，PC，CM2 ，cosPMC，即异面直线AN，CM所成的角的余弦值是.图D2238.解析：设直线AC与BD所成角为.设O是AC中
7、点，由已知，得AC.如图D224，以OB为x轴，OA为y轴，过点O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A，B，C.作DHAC于H，翻折过程中，DH始终与AC垂直，CH，则OH，DH.因此可设D，则，与平行的单位向量n(0,1,0)，cos |cos，n|.当cos 1时，cos 取最大值.图D2249解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.AA1平面ABCD，AA1AE，AA1AD.如图D225，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.图D225ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0
8、，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)，则cos，因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设平面BA1D的法向量为n(x，y，z)由得取x，得n.cosA，n.二面角BA1DA的正弦值为 .10(1)证明：若时，则.如图D170，在PA上取，连接EN，DE，AB4，ENAB，且ENAB1.M为CD的中点，CD2，DMCD1.又ABCD，ENDM.四边形DMNE是平行四边形MNDE.又DE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)如图D226，过点D作DHAB于H，则DHCD.图D226则以D为坐标原点建立空间直角坐标Dxyz，点D(0,0,0)，M(0,1,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，A(2，2,0)，P(0,0,4)，(2,0,0)，(0，2,4)，(2,2,4)(2,2，4)(22,22,44)，该平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则令z1，y2，x0.n(0,2,1)该直线AN与平面PBC所成的角为，则sin |cosn|.解得.则N.则，(2,2,0)设直线AD与直线CN所成角为，则cos |cos，|.直线AD与直线CN所成角的余弦值为.