1、1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【选题明细表】 知识点、方法题号求几何体的侧面积与表面积1、2、3、7求几何体的体积4、9组合体的表面积与体积5、6综合问题8、10、11基础巩固1.(2014兰州五十五中高一期末)各棱长均为a的三棱锥的表面积为(D)(A)4a2(B)3a2(C)2a2(D)a2解析:三棱锥的表面积S=4a2sin 60=a2.故选D.2.(2014莱州高二期末)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是(B)(A)6(B)12(C)18(D)24解析:由三视图知,该几何
2、体是圆台,两底面半径分别为r=1,r=2,母线l=4,则S侧=(r+r)l=(1+2)4=12.故选B.3.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(B)(A)32(B)16+16(C)48(D)16+32解析:由题意知该几何体为四棱锥,其高为2,底面是边长为4的正方形,S侧=44=16,S底=44=16,S表=16+16,故选B.4.(2015大同一中高二(上)月考)网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(B)(A)6(B)9(C)12(D)18解析:该几何体是三棱锥,三棱锥的高为3;底面三角形是斜边长为6,高为
3、3的等腰直角三角形,此几何体的体积为V=633=9,故选B.5.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为(C)(A)92+24(B)82+14(C)92+14(D)82+24解析:由三视图知几何体是半圆柱与长方体的组合体,下面长方体的长、宽、高分别为5、4、4;上面半圆柱的半径为2,高为5;所以几何体的表面积S=S半圆柱侧+S长方体侧+S长方体底+2S半圆柱底=25+2(4+5)4+45+22=92+14,故选C.6.(2015安庆市石化一中高二(上)期中)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于
4、cm3.解析:几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边长分别为3,4,侧面的高为5,被截取的棱锥的高为3.如图:V=V棱柱-V棱锥=345-343=24(cm3).答案:247.(2015蚌埠市五河高中高二(上)期中)圆锥的侧面展开图是圆心角为120、半径为2的扇形,则圆锥的表面积是.解析:因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120、半径为2的扇形,所以圆锥的侧面积等于扇形的面积=,设圆锥的底面圆的半径为r,因为扇形的弧长为2=,所以2r=,所以r=,所以底面圆的面积为.所以圆锥的表面积为,答案:能力提升8.(2015山西山大附中高二(上)期中)在三棱锥PABC中,三条侧棱两
5、两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为(C)(A)a(B)a(C)a(D)a解析:设点P到平面ABC的距离为h,因为三条侧棱两两垂直,且侧棱长为a,所以AB=BC=AC=a,所以SABC=a2,根据=,可得a3=a2h,所以h=a,即点P到平面ABC的距离为a,故选C.9.(2015山西忻州高二期中联考)如图,已知三棱柱ABCA1B1C1,点P、Q分别在棱AA1和CC1上,AP=C1Q,则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为(A) (A)21(B)31(C)32(D)43解析:设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V,连接BA1,BC1,因为点P、Q分别在棱AA1和CC1上,AP=C
6、1Q,所以四棱锥BAPQC,BC1QPA1的底面积相等.把三棱柱ABCA1B1C1分割为BAPQC,BC1QPA1,BB1A1C1,三棱锥BB1A1C1的体积为V,所以四棱锥BAPQC,BC1QPA1的体积之和为V-V=,因为四棱锥BAPQC,BC1QPA1的底面积、高相等.所以四棱锥BAPQC,BC1QPA1的体积相等,即为V,所以棱锥BAPQC,BC1QPA1,BB1A1C1的体积相等,为V,所以平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为21,故选A.10.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)有一块扇形铁皮OAB,AOB=60,OA=72 cm,要剪下来一个扇环形ABCD,做圆台形容器的侧面
7、,并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面),试求:(1)AD应取多长?(2)容器的容积是多少?解:(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为r、R,AD=x,则OD=72-x,由题意得解得R=12,r=6,x=36,所以AD=36 cm.(2)圆台所在圆锥的高H=12,圆台的高h=6,所以V容=(r2+rR+R2)h=504 cm3.探究创新11.(2014连云港高一期末)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥B1DBQ的体积;(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S.解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为DD1O的中位线,所以C为DO的中点,延长AP、DC交于点O,则PC为ADO的中位线,所以C为DO的中点,所以点O与点O重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.(2)=（22）2=.(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1PQ,所以梯形APQD1为所求截面,梯形APQD1的高为=,S=(+2)=.