1、课时作业25正弦定理、余弦定理一、选择题1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b3，A60，则边c等于(C)A1 B2C4 D6解析：a2c2b22cbcosA，13c292c3cos60，即c23c40，解得c4或c1(舍去)2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2，b2，C30，则B等于(D)A30 B60C30或60 D60或120解析：c2，b2，C30，由正弦定理可得sinB，由bc，可得30B180，B60或B120.3(2020济南模拟)在ABC中，AC，BC，cosA，则ABC的面积为(A)A. B5C10 D.解析：由AC，BC，BC2AB
2、2AC22ACABcosA，得AB24AB50，解得AB5，而sinA，故SABC5.故选A.4(2020湖南湘东六校联考)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2ac，且sinCsinB，则其最小内角的余弦值为(C)A B.C. D.解析：由sinCsinB及正弦定理，得cb.又b2ac，所以ba，所以c2a，所以A为ABC的最小内角由余弦定理，知cosA，故选C.5(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinAbsinB4csinC，cosA，则(A)A6 B5C4 D3解析：由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cosA，得6
3、.故选A.6(2020昆明测试)在平面四边形ABCD中，D90，BAD120，AD1，AC2，AB3，则BC(C)A. B.C. D2解析：如图，在ACD中，D90，AD1，AC2，所以CAD60.又BAD120，所以BACBADCAD60.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC7，所以BC.故选C.7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m，n，p共线，则ABC的形状为(A)A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：向量m，n共线，acosbcos.由正弦定理得sinAcossinBcos.2sincoscos2sincos
4、cos.则sinsin.0，0，即AB.同理可得BC.ABC的形状为等边三角形故选A.8(2020银川模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SABC2，ab6，2cosC，则c等于(C)A2 B4C2 D3解析：2cosC，由正弦定理，得sinAcosBcosAsinB2sinCcosC，sin(AB)sinC2sinCcosC，由于0C，sinC0，cosC，C.SABC2absinCab，ab8.又ab6，解得或c2a2b22abcosC416812，c2，故选C.二、填空题9(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinAacosB
5、0，则B.解析：解法1：依题意与正弦定理得sinBsinAsinAcosB0，即sinBcosB，则tanB1.又0B，所以B.解法2：由正弦定理得bsinAasinB，又bsinAacosB0，所以asinBacosB0，即sinBcosB，则tanB1.又0B，所以B.10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为或.解析：由余弦定理，得cosB，结合已知等式得cosBtanB，sinB，又0B，B或.11(2019浙江卷)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上若BDC45，则BD，cosABD.解析：在RtABC中，易得
6、AC5，sinC.在BCD中，由正弦定理得BDsinBCD，sinDBCsin(BCDBDC)sin(BCDBDC)sinBCDcosBDCcosBCDsinBDC.又ABDDBC，所以cosABDsinDBC.12若E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF.解析：如图，设AB6，则AEEFFB2.因为ABC为等腰直角三角形，所以ACBC3.在ACE中，A，AE2，AC3，由余弦定理可得CE.同理，在BCF中可得CF.在CEF中，由余弦定理得cosECF，sinECF，所以tanECF.三、解答题13(2019天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
7、已知bc2a,3csinB4asinC.(1)求cosB的值；(2)求sin的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得bsinCcsinB，又由3csinB4asinC，得3bsinC4asinC，即3b4a.又因为bc2a，得到ba，ca.由余弦定理可得cosB.(2)由(1)可得sinB，从而sin2B2sinBcosB，cos2Bcos2Bsin2B，故sinsin2Bcoscos2Bsin.14(2020湖南湖北八市十二校联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c2.(1)若A，b3，求sinC的值；(2)若sinAcos2sinBcos23sinC，且ABC的面积Ssin
8、C，求a和b的值解：(1)由余弦定理a2b2c22bccosA，得a2942327，所以a，由正弦定理，得sinC.(2)由已知得sinAsinB3sinC，sinAsinAcosBsinBsinBcosA6sinC，sinAsinBsin(AB)6sinC，sinAsinB5sinC，所以ab5c10.又SabsinCsinC，所以ab25.由解得ab5.15(2020山东德州模拟)已知函数f(x)4sinxcos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f1，a2，求ABC面积的最大值解：(1)函数f(x)4sinxcos4sinx42sin
9、1.令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，可得函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)在ABC中，因为f2sin11，所以sin0，又0A，所以A.所以ABC的面积为bcsinA.因为a2，所以由余弦定理可得a24b2c2bc2bcbc，所以bc4(2)，当且仅当bc时等号成立所以ABC的面积为bcsinA2，故ABC面积的最大值为2.16(2020湖南师大附中模拟)在如图所示的ABC中，CAB，角B，C的对边分别为a，b，c，若cosCAB，B2CAB，b3.(1)求a；(2)已知点M在边BC上，且AM平分BAC，求ABM的面积解：(1)由0CAB，cosCAB，得sinCAB，所以sinBsin2CAB2sinCABcosCAB2.由正弦定理，可得a2.(2)cosBcos2CAB2cos2CAB1221.在ABC中，由余弦定理b2a2c22accosB，得2c2c100，解得c或c2(舍去)所以SABCbcsinCAB.因为，所以SABMSABC.