1、长泰一中2019/2020学年第一学期期中考试高三理科数学试题 (考试时间：120分钟 总分：150分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）1. 已知集合，则( ) A. B. C. D. 2.设，则“”是“”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数的零点之和为（ ） 4.下列说法中不正确的个数是( )“”是“”的必要不充分条件；命题“”的否定是“”；若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真A. 3 B. 2 C. 1 D. 05
2、.设，则的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 6. 中国古代数学著作算法统宗中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前三天共走了（ ）A.48里B.189里 C.288里 D.336里7.母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为 ( ) A B C D8.已知，点为斜边的中点，则等于( ) A. B. C. D.9.函数的图象可能是（ ） A. B. C. D.10.
3、 已知曲线过定点，若且，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 5D. 11已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，底面，且，则该三棱锥的外接球的体积是( )ABCD12.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均为单调递增，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则 .14已知数列的前项和为，且满足，则 15.设函数，则不等式的解集为 16. 如图，在长方体中，以下命题中，正确的序号是_. ； ；三棱锥体积为定值 ； 。 三 解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）
4、17.（本小题满分12分）已知数列中，点在直线上，且首项.（）求数列的通项公式；（）数列的前项和为，等比数列中，数列的前项和为，请写出适合条件的所有的值.18. （本小题满分12分）设锐角中，角的对边分别为，且是与的等差中项.（）求角的大小；（）若，求面积的最大值.A19 （本小题满分12分）如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为（）求和的值；（）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值20. （本小题满分12分） 如图，空间几何体中，、均是边长为的等边三角形，平面平面，且平面平面（）证明：；（）求二面角的余弦值.21.（本小题满分 12 分）设函数。（）当 a
5、0时，求函数 的单调递增区间；（）对任意 x 0, +)，x + 1恒成立，求实数 a 的取值范围。请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑。22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）若，求直线以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）
6、若时，恒成立，求的取值范围.高三理科数学试题参考答案 (考试时间：120分钟 总分：150分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）1. 已知集合，则( B ) （A） （B） （C） （D）2.设，则“”是“”的 ( A ) （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件3.函数的零点之和为（ D ） 4.设，则的大小关系为 ( C ) A. B. C. D. 5.下列说法中不正确的个数是( B )“”是“”的必要不充分条件；命题“”的否定是“”；若一
7、个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真（A）3 （B）2 （C）1 （D）06. 中国古代数学著作算法统宗中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前三天共走了（ D ）A.48里B.189里 C.288里 D.336里7.母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为 ( A ) ABCD8.已知，点为斜边的中点，则等于( D ) A. B. C. D.9.函数的图象可能是（ D
8、 ） A B C D10. 已知曲线过定点，若且，则的最小值为（ B ） A. 9 B. C. 5D. 11已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，底面，且，则该三棱锥的外接球的体积是( C )ABCD12.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均为单调递增，则实数的取值范围是( A )A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知，则 1/7 .14 已知数列的前项和为，且满足，则 40/27 14【解析】解：，可得时， ，时，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得15.设函数，则不等式的解集为
9、 16. 如图，在长方体中， 三棱锥体积为定值 上述命题中，正确的序号是_.16.【解析】由平面，且，可证.取中点,易知为所找的线面角，为定长，则当最长时，线面角最小，当与重合时线面角最小，小于.三棱锥顶点换为，底面大小确定，又因为，所以点到底面的距离不变，命题正确.因为,所以异面直线所成角与相等或互补（取锐角或直角），当与重合时，此时命题正确.四 解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知数列中，点在直线上，且首项.（）求数列的通项公式；（）数列的前项和为，等比数列中，数列的前项和为，请写出适合条件的所有的值.17. 解:（I）
10、根据已知，即， 2分所以数列是一个等差数列， 4分（II）数列的前项和 6分等比数列中，所以， 8分数列的前项和 10分即，又，所以或2 12分18. （本小题满分12分）设锐角中，角的对边分别为，且是与的等差中项.（）求角的大小；（）若，求面积的最大值.，.又为锐角，.（），当且仅当时，取等号.的面积.即面积的最大值为（当且仅当时，等号成立）.20 （本小题满分12分）如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为（）求和的值；A（）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值解：（1）将，代入函数得，因为，所以又因为该函数的最小正周期为，所以，因此（2）因为点，是的中点，
11、所以点的坐标为又因为点在的图象上，所以因为，所以，从而得或即或21. （本小题满分12分） 如图，空间几何体中，、均是边长为的等边三角形，平面平面，且平面平面（）证明：；（）求二面角的余弦值.20.【解析】（1）法1：分别取中点，连接, 1分 由面面且交于，平面，有面 由面面且交于，平面，有面 所以 ,2分，所以 ， 3分由有， 4分，所以 ， 5分,所以面面 6分 所以 法2：由,可得为平行四边形，所以.（2）法1：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系 7分 由 面，所以面的法向量可取8分点,点,点，,，9分设面的法向量，所以，取10分设二面角的平面角为，据判断其为
12、锐角.12分法2：过点作垂线，垂足为，连接.7分由（1）问可知又因为，所以，则有.9分所以为二面角的平面角.10分由题可知，所以,则11分所以， 12分21.（本小题满分 12 分）设函数（）当 a 0时，求函数 的单调递增区间；（）对任意 x 0, +)， x + 1恒成立，求实数 a 的取值范围21【解析】：（1）由，令得： ，所以当时，单调递增区间是；.4分（2）令，则成立等价于，若，当，则，而，即恒成立；.6分若时，则，当，由是减函数， ，又，所以在上是减函数，此时当， 若时， ， ，所以在有零点.9分在区间，设，所以在上是减函数.10分即在有唯一零点，且在上， ，在为增函数，即在上，
13、所以，不合题意，11分综上可得，符合题意的的取值范围是22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）若，求直线以及曲线的直角坐标方程：（2）若直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若时，恒成立，求的取值范围.22 解：（1）由题意，直线，可得直线是过原点的直线，故直线的直角坐标方程为， 2分又，由 3分故曲线的直角坐标方程为； 5分（2）由题意，直线l的极坐标为， 6分设、对应的极径分别为，将代入曲线的极坐标可得：，故，所以， 8分故，则，即 ，所以 故直线的斜率是 10分法二：由题意，直线方程为，设、对应的点坐标为6分联立直线与曲线的方程，消去得. 7分 8分 9分所以，故直线的斜率是. 10分23解：（1）即,因为,所以 2分又，所以 3分所以不等式的解集为. 5分（2）因为，所以 6分则恒成立等价于恒成立， 7分即恒成立 8分由可得， 9分所以 10分