1、7.3.4正切函数的性质与图像学 习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图像(一般)2会利用ytan x的性质确定与正切函数有关的函数性质(难点)3会利用正切函数的单调性比较函数值大小(难点、易错点)4掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(重点)1.通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养2借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养.孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地在相同的时间、相等的面积里，物体在直线状态下比在斜射状
2、态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？问题类比ysin x，ycos x的图像与性质(1)ytan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？(2)正切函数的图像是连续的吗？提示(1)ytan x是周期函数，且T，无最大值，也无最小值(2)正切函数的图像在定义域上不是连续的1正切函数的定义对于任意一个角x，只要xk，kZ，就有 唯一确定的正切值tan x与之对应，因此ytan x是一个函数，称为正切函数2正切函数的性质定义域、值域定义域为， 值域为 R奇偶性奇函数周期单调性单调增区间(kZ)零点k，kZ思考：(1)正切函数在定义域上是单调递增函数吗？
3、(2)函数yAtan (x)的周期是多少？提示(1)不是正切函数在每一个区间(kZ)上都是单调递增函数，但是不能说在定义域上是增函数(2)T.拓展(1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性(2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线xk，kZ所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的这一系列直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交(3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为，kZ.(4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为xk，kZ.3正切函数的图像(1)正切函数的图像ytan x 的图像如图(2)正切函数的图像叫做正切曲线(3)正切函
4、数的图像特征正切曲线是由通过点(kZ) 且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)正切函数既没有最大值也没有最小值()(2)正切函数的对称中心是(k，0)，kZ.()(3)函数ytan 2x的周期是2.()提示(1).正切函数的值域为R，既没有最大值也没有最小值(2).正切函数的对称中心是，kZ.(3).函数ytan 2x的周期是.答案(1)(2)(3)2函数y3tan x7的值域是()ARBC(0，)D(kZ)答案A因为ytan x，xR的值域为R，所以y3tan x7的值域也为R.3ytan定义域为_因为2xk，kZ，所以x，kZ.4函数ytan的
5、单调增区间为_，kZ令kxk，kZ，得kxk，即ytan的单调增区间为，kZ.正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数ylg(1tan x)的定义域是_(2)函数ytan(sin x)的值域为_(3)求函数ytan2 x2tan x5，x的值域思路探究(1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域(2)利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域(3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题(1)(2)tan 1，tan 1(1)要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.(2)因为1
6、sin x1，且1,1，所以ytan x在1,1上是增函数，因此tan(1)tan xtan 1，即函数ytan(sin x)的值域为tan 1，tan 1(3)解令ttan x，因为x，所以ttan x，)，所以yt22t5(t1)26，抛物线开口向下，对称轴为t1，所以t1时，y取最大值6，t时，y取最小值22，所以函数ytan2 x2tan x5，x时的值域为22，61求正切函数定义域的方法及求值域的注意点(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ；(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义
7、域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围2解正切不等式的两种方法(1)图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域要特别注意函数的定义域1求函数y的定义域解根据题意，得解得(kZ)所以函数的定义域为(kZ)正切函数的奇偶性、周期性【例2】(1)函数y4tan的周期为_(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)tantan.思路探究(1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求(2)可按定义法的步骤判断(
8、1)由于3，故函数的周期为T.(2)解由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数函数定义域为，关于原点对称，又f(x)tantantantanf(x)，所以函数是奇函数1函数f(x)Atan(x)周期的求解方法(1)定义法(2)公式法：对于函数f(x)Atan(x)的最小正周期T.(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系2(1)求f(x)tan的周期
9、；(2)判断ysin xtan x的奇偶性解(1)因为tantan，即tantan，所以f(x)tan的周期是.(2)定义域为，关于原点对称，因为f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以函数是奇函数正切函数的单调性角度一求正切函数的单调区间【例3】求函数ytan的单调区间思路探究由于x的系数小于零，故应将其进行变形，化为系数为正，再根据正切函数单调性求解解(1)ytantan，由kxk(kZ)，得2kx0，0，且A，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可.(2)若0
10、，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可.3求函数y的单调区间解y，由kxk(kZ)，得2kx2k，kZ.故该函数只有单调递减区间，kZ.角度二单调性的应用【例4】比较tan 1，tan 2，tan 3的大小思路探究可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，最后利用ytan x在上的单调性判断大小关系解因为tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又因为2，所以20，因为3，所以30，显然231，且ytan x在内是增函数，所以tan(2)tan(3
11、)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.(2)运用单调性比较大小关系.4比较tan与tan的大小解由于tantantan tan ，tantantan ，又0，而ytan x在上单调递增，所以tan tan ，即tantan.正切函数的图像及应用【例5】画出函数y|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性解由y|tan x|得，y其图像如图所示由图像可知，函数y|tan x|是偶函数，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，周期为.1作出函数y|f(x)|的图像一般利用图
12、像变换方法，具体步骤是：(1)保留函数yf(x)图像在x轴上方的部分；(2)将函数yf(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折2若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可5设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的周期、对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图解(1)因为f(x)tan，所以，周期T2.令(kZ)，得xk(kZ)，所以f(x)的对称中心是(kZ)(2)令0，则x.令，则x.令，则x.所以函数ytan的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得函数f(x)tan在一个周期内的简图(如图)
13、1对函数yAtan(x)k(0)周期的两点说明(1)一般地，函数yAtan(x)k(0)的最小正周期T.(2)当0时，函数yAtan(x)k具有周期性，最小正周期是.2正切函数的奇偶性若函数yAtan(x)为奇函数，则k或k(kZ)，否则为非奇非偶函数3求yAtan(x)的单调区间，可先用诱导公式把化为正值，由kxk求得x的范围即可比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内4“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为(k，0)，其中kZ；两线为直线xk和直线xk，其中kZ(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可5判明2个易错点(1)易忽视正切函数ytan x的定义域为；(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴1函数ytan x的值域是()A1,1B1,0)(0,1C(，1D1，)B根据函数的单调性可得2(一题两空)函数ytan的单调递增区间是_，对称中心为_(kZ)(kZ)由kk，kZ，得2kx0，所以tan x.又因为tan x时，xk(kZ)，根据正切函数图像(图略)，得kxk(kZ)，所以函数的定义域是.