1、2013届高三文科数学自测试题（8）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为纯虚数，则的值为 （ ）A1 B1 C D2. 数列中，则 （ ）A. 3.4 B. 3.6 C. 3.8 D. 43. 设函数.若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（ ）A B C D 4. 若直线与以为圆心的圆相交于两点，且则的值为 （ ）A. B. C. D.5. 双曲线的渐近线与圆相切，则= ( )A B. 2 C. 3 D. 66. 已知非零向量满足，且关于x的函数为R上增函数，则夹角的取值范围是A、B、C、 D、
2、7. 关于函数与函数，下列说法正确的是A. 函数和的图像有一个交点在轴上B. 函数和的图像在区间内有3个交点C. 函数和的图像关于直线对称D. 函数和的图像关于原点对称D 与关于原点对称，故选D.8. 若两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. D，当且仅当，即时等号成立. 由恒成立，则，解得，故选D.9. 如图，等腰梯形中，且， ，则以、为焦点，且过点的双曲线的离心率A. B. C. D. B由题可知，双曲线离心率，设则，所以，故选B10. 若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件： 、都在函数的图像上； 、关于原点对称.则称点对为函数的一对“友好点对”.（注：点对
3、与为同一“友好点对”）已知函数，此函数的“友好点对”有A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对C由题意， 当时，将的图像关于原点对称后可知 的图像与时存在两个交点，故“友好点对”的数量为2，故选C. 二.填空题.（本大题7个小题，每小题5分，共35分）11中，、分别是角、的对边，若，则的值为_.由正弦定理可将转化为，经计算得，又为内角，可知，则，则.12据法制晚报报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，图3是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，从左到右各直方块表示的人数依次记为、（例如表示血液酒精浓度在3040 mg/
4、100 ml的人数），图4是对图3中血液酒精浓度在某一范围内的人数进行统计的程序框图。这个程序框图输出的_否是开始输入结束输出图4图313过抛物线=2py(p0)的焦点F作倾斜角的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值是 14.已知M（a,b）由确定的平面区域内运动，则动点N（a+b,ab）所在平面区域的面积为_16_15函数，对任意的总存在，使得成立，则实数的取值范围是 3，4 、16观察下列不等式:，由以上不等式推测到一个一般的结论：对于， ；17定义在上的函数满足，当时，则函数在上的零点个数是_.由可知是以5为周期的周期函数，又在区间内有3个零点，故在任意周期上都有3个零
5、点，故上包含402个周期，又时也存在一个零点，故零点数为.三.解答题.（本大题5个小题，共65分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内,必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）18(本小题满分12分)设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且。求证：数列是等比数列，并求通项公式；若，为数列的前项和，求。解.（1）由, ,即，又 所以， 所以。 . （2）数列为等差数列，公差, 从而， = 从而.19(本小题满分12分)已知函数的最大值为2. 是集合中的任意两个元素，的最小值为. （1）求的值 （2）若，求的值.解：（I）2分 4分由题意知，则，5分由题知的周期为，则，知.7分（II）
6、由.8分 10分. 12分20.（本小题满分13分）某班几位同学组成研究性学习小组，从25，55岁的人群随机抽取人进行了一次日常生活中是否具有环保意识的调查若生活习惯具有较强环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保族”。得到如下统计表：组数分组环保族人数占本组的频率本组占样本的频率第一组25，30)1200.60.2第二组30，35)195第三组35，40) 1000.50.2第四组40，45)0.40.15第五组45，50)300.30.1第六组50，55)150.30.05求、的值；从年龄段在40，50)的“环保族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外环保活动，其中选取2人作为领队，求选取的
7、2名领队中恰有1人年龄在 40，45)的概率解：第二组的频率为：1分，第一组的人数为，第一组的频率为0.2，所以3分，第二组人数为，所以4分，第四组人数，所以6分，40，45)年龄段“环保族”与45，50)年龄段“环保族”人数比值为6030=21，采用分层抽样法从中抽取6人，40，45)年龄段有4人，45，50)年龄段有2人7分；设40，45)年龄段的4人为a、b、c、d，45，50)年龄段的2人为m、n，则选取2人作为领队的有（a,b）、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m) 、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)
8、、(m,n)，共15种11分；其中恰有1人年龄在45，50)的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)，共8种11分；所以选取的2名领队中恰有1人年龄在40，45)的概率为12分21（满分14分）动圆过定点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过作曲线两条互相垂直的弦，设的中点分别为、.（1）求曲线的方程；（2）求证：直线必过定点.解：（1）设，则有，化简得6分（2）设，代入得，,故10分因为，所以将点坐标中的换成，即得。则 ，整理得,故不论为何值，直线必过定点.14分22(本小题满分14分)设函数，.（1）若曲线在处的切线为，求实数的值；（2）当时，若方程在上恰好有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.解:（1）切点为 ， ,即（2）令得：函数在内单调递减；函数在内单调递增。又因为故（3）在单调递减；单调递增也应在单调递减；单调递增，当时，在单调递增，不满足条件.所以当且即.
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