1、数 学 （A）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C2已知复数，则的虚部为（ ）ABCD【答案】B3“点，
2、到直线的距离相等”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B4碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年至今，女尸碳14的残余量
3、约占原始含量的（ ）（参考数据：，）ABCD【答案】C5如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）AAB与CF成45角BBD与EF成45角CAB与EF成60角DAB与CD成60角【答案】D6设锐角的内角，的对边分别为，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A7已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D3【答案】A8已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）ABCD【答案】A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部
4、选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ）AB展开式中没有常数项C展开式所有二项式系数和为1024D展开式所有项的系数和为256【答案】BD10从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）A2个球都是红球的概率为B2个球中恰有1个红球的概率为C至少有1个红球的概率为D2个球不都是红球的概率为【答案】AB11已知函数的图象经过点，则（ ）A点是函数的图象的一个对称中心B函数的最小正周期是C函数的最大值为2D直线是图象的一条对称轴【答案】ACD12在数学课堂上，为提高学生探究分析
5、问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）ABCD【答案】AD第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知，则的取值范围是_【答案】14已知关于，的一组数据：根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，则的值为_【答案】15已知平面向量，是单位向量，且，则的最大值为_【答案】16已知定义在上的函数为增函数，且函数的图象关于点成中心对称，若实数、满足不等式，则当时，的最大值为_【答案】四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1
6、7（10分）在中，角，所对的边分别是，且（1）求证：三内角，成等差数列；（2）若的面积为，求的周长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由正弦定理得，又，所以，所以，所以，所以，所以成等差数列（2）由题意，又，由正弦定理得，由，解得（边长为正，负的舍去），所以三角形周长为18（12分）已知数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）因为，所以，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，当时，当时也成立，所以（2）令，所以数列前项和19（12分）如图，四棱锥的底面是边长为6的正方形，（1）证明：；（2）当四棱锥的体积为时，求二面角的正弦值【答
7、案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：分别取，的中点，连接，平面，平面，在中，垂直平分，（2）由（1）知，平面平面，在上取一点O，连接，使，则是四棱锥的高，解得，则，即O为正方形的中心，以O为坐标原点，过点O且垂直于的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，取，；设平面的一个法向量，则，取，则，设二面角的平面角为，则，二面角的正弦值为20（12分）2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:2010:40这一时间段内通过
8、的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:209:40记作，9:4010:00记作，10:0010:20记作，10:2010:40记作，例如：9:46，记作时刻46（1）估计这600辆车在9:2010:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:2010:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服
9、从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:2010:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）假如4日上午9:2010:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:4610:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）附：若随机变量T服从正态分布，则，【答案】（1）10:04；（2）答案见解析；（3）819【解析】（1）这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：，即10:04（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组这一区间内的
10、车辆数，即，所以X的可能取值为0，1，2，3，4所以；，所以X的分布列为：01234（3）由（1）得，所以，估计在9:4610:40之间通过的车辆数也就是在通过的车辆数，由，得，所以估计在9:4610:40之间通过的车辆数为21（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上下顶点分别为，左焦点为F，左顶点为A，椭圆过点，且（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为的动直线l与椭圆C交于PQ两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得x轴为的平分线？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】1）由题意，椭圆，可得，则，所以，即，又因为椭圆过，所以，联立可得，所以椭圆的方程为（2）由题意设直线的方程为，联立方程组，整理得，所以，若轴为的平分线，得，所以，所以，所以，所以，所以，整理得，因为直线l为动直线，所以，即，故存在满足条件的定点M，其坐标为22（12分）已知函数（1）判断的单调性；（2）若，求证【答案】1）函数的定义域为，因为，所以，所以当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增，则当时，取得极小值，也是它的最小值，所以，所以，则在上单调递增（2）因为，所以不妨设，所以要证，只需证因为，所以只需证，只需证，只需证设，则，则，所以当时，在上单调递减，则，所以在上单调递增，则，即，所以
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