1、枣阳市白水高中2017届高三上学期第一次模拟考试理科数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）命题人： 审核人： 2017年1月4日下午15：00-17：00第卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1已知集合，全集，则（ ）A B C D2已知为虚数单位，若为纯虚数，则复数的模等于（ ）A B C D3已知，则下列结论正确的是（ ）A是偶函数 B是奇函数C是偶函数 D是奇函数4过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与轴的交点坐标为，则此双曲线的离心率是（ ）A B2 C D5如图所示
2、的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是，动点从点出发沿着圆弧按的路线运动（其中五点共线），记点运动的路程为，设，与的函数关系为，则的大致图象是（ ）6设，且，则（ ）A B C D7不等式组的解集记为，有下面四个命题：；.其中的真命题是（ ）A B C D8已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于，若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（ ）A2 B C D9已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D10正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱 上的任
3、意一点，则直线与直线所成的角为（ ）A. B. C. D.与点的位置有关11已知函数，若是的一个单调递增区间，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.12为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为A6,4, 1,7 B7,6,1,4C4,6,1,7 D1,6,4,7二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知分别是的中线，若，且，则与的夹角为 .14在四边形
4、中，则的最大值为 .15已知函数，若方程有三个不同的解，且，则的取值范围是 .16表示一个三位数，记，如，则满足的三位数共有_个三解答题：(本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分)17设是数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等比三角形，过作平面平行于，交于点.（1）求证：；（2）若四边形是正方形，且，求二面角的余弦值.19已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，当轴时，的周长最大值为8.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点，求当面积最大时直线的方程.20已知函数.（1）若函数存在单调增区间，
5、求实数的取值范围；（2）若，证明：，总有.21已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.（1）若直线与曲线交于两点，求的值；（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22选修41：几何证明选讲（本题满分10分）如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点， ，交的延长线于点，交于点.（）求证：是圆的切线；（）若的半径为，求的值.23选修44：坐标系与参数方程（本题
6、满分10分）在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；（）求曲线的直角坐标方程；（）若，求直线的倾斜角的值24选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）设函数（）求不等式的解集；（）若存在使不等式成立，求实数的取值范围参考答案1CBDAA 6DCCDC. 11CA13 14 15 16917（1）；（2）.（1）当时，由，得：，两式相减，得：，.当时，则，数列是以为首项，公比为3的等比数列，.（2）由（1）得：，-得：.18（1）证明见解析；（2）.（1）证：连结，设与相交于点，连接，则为中点，平面
7、，平面平面，为的中点，又是等边三角形，（2）因为，所以，又，所以，又，所以平面，设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则，即，设平面的法向量为，由，得，令，得，设平面的法向量为，由，得，令，得，故所求二面角的余弦值是.19（1）；（2）或.（1）设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义，得，而的周长为，当且仅当过点时，等号成立，所以，即，又离心率为，所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得.设，则，且，所以令，则式可化为.当且仅当，即时，等号成立.所以直线的方程为或.20（1）；（2）证明见解析.（1）由已知得，因为函数
8、存在单调增区间，所以方程有解.而恒成立，即有解，所以，又，所以.（2）因为，所以，所以，因为，所以，又对于任意，要证原不等式成立，只要证，只要证，对于任意上恒成立，设函数，则，当时，即在上是减函数，当时，即上是增函数，所以，在上，所以.所以，（当且仅当时上式取等号）设函数，则，当时，即在上是减函数，当时，即在上是增函数，所以在上，所以，即，（当且仅当时上式取等号），综上所述，因为不能同时取等号，所以，在上恒成立，所以，总有成立.21（1）；（2）.（1）曲线的直角坐标方程为.左焦点，代入直线的参数方程，得，直线的参数方程是（为参数），代入椭圆方程得，所以.（2）设椭圆的内接矩形的顶点为，所以椭圆的内接矩形的周长为，当时，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值16.22. 解：（1）连接，可得， 3分又，又为半径，是圆的切线 5分（2）连结BC，在中， 7分又由圆的切割线定理得： 10分23.解：（1） 3分，曲线的直角坐标方程为。 5分（2）当时，舍 6分当时，设，则，圆心到直线的距离由 10分24.解：()由得，不等式的解集为 4分()令则， 8分存在x使不等式成立， 10分
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