1、课时作业41基本不等式一、选择题1(2020河南豫北联考)设a0，则a的最小值为(D)A2 B2C4D5解析：aa1125，当且仅当a2时取等号，故选D2(2019浙江卷)设a0，b0，则“ab4”是“ab4”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：因为a0，b0，所以ab2，由ab4可得24，解得ab4，所以充分性成立；当ab4时，取a8，b，满足ab4，但ab4，所以必要性不成立所以“ab4”是“ab4”的充分不必要条件故选A3已知a0，b0，则，中最小的是(D)A BCD解析：a0，b0，.又a2b22ab，2(a2b2)(ab)2，.，故选D4
2、若函数f(x)x(x2)在xa处取得最小值，则a等于(C)A1B1或3C3D4解析：x2，x20，f(x)xx22224，当且仅当x2且x2，即x3时等号成立，a3，故选C5若2x2y1，则xy的取值范围是(D)A0,2B2,0C2，)D(，2解析：12x2y22，2xy，得xy2.6已知abt(a0，b0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t(C)A2 B4 C2 D2解析：a0，b0，ab，当且仅当ab时取等号ab的最大值为2，2，t28.又tab0，t2.7已知f(x)，则f(x)在上的最小值为(D)AB C1D0解析：f(x)x2220，当且仅当x，即x1时取等号又1，所以f(x)在上
3、的最小值是0.8(2020永州检测)已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a，则ABC是(C)A等边三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形解析：2a，2sinA，又22，当且仅当时，等号成立，sinA1，又sinA1，A，bc，ABC是等腰直角三角形，故选C9(2020福建龙岩检测)已知x0，y0，且，则xy的最小值为(C)A3B5 C7D9解析：x0，y0，且，x1y2(x1y)228，当且仅当，即x3，y4时取等号，xy7，故xy的最小值为7，故选C二、填空题10已知函数yx，x，则y的最小值是2.解析：x，yx22，当且仅当x，即x时，等号成立，y的最小值为2.1
4、1已知a0，则的最小值为1.解析：4a5.a0，4a5251，当且仅当4a，即a时取等号，的最小值为1.12若x0，y0，x4y2xy7，则x2y的最小值是3.解析：因为x0，y0，x4y2xy7，则2y.则x2yxx23233，当且仅当x1时取等号因此其最小值是3.13(2020河南洛阳联考)已知x0，y0，且1，则xyxy的最小值为74.解析：1，xy2xy，xyxy2xyxy3x2y(3x2y)347274，当且仅当，即yx时取等号，故xyxy的最小值为74.三、解答题14已知x，y(0，)，x2y2xy.(1)求的最小值(2)是否存在x，y满足(x1)(y1)5？并说明理由解：(1)因
5、为2，当且仅当xy1时，等号成立，所以的最小值为2.(2)不存在理由如下：因为x2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(xy)又x，y(0，)，所以xy2.从而有(x1)(y1)24，因此不存在x，y满足(x1)(y1)5.15某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值解：(1)由题设，得S(x8)2x916，x(8,450)(2)因为8x0，所以a516，又因为a3a520，所以a34，所以a11，公比q2，因为32，所以3225，所以mn12，则(mn)，则的最小值为，故选A17(2020广东惠州调研)在ABC中，点D是AC上一点，且4，P为BD上一点，向量(0，0)，则的最小值为(A)A16B8 C4D2解析：由题意可知，4，又B，P，D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得41，又因为0，0，所以(4)88216，当且仅当，时等号成立，故的最小值为16.故选A