1、第三节几何概型 考纲传真1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性3几何概型的概率公式P(A).1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(2)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是.()(3)概率为0的事件一定是不可能事件()(4)在几何概型定义中的
2、区域可以是线段、平面图形、立体图形()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()AP(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B)3(2016全国卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.B.C.D.B如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯AB长度为401525，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒
3、才出现绿灯的概率为，故选B.4(2017唐山检测)如图1031所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_图1031018由题意知，0.18.S正1，S阴0.18.5设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是_1如图所示，区域D为正方形OABC及其内部，且区域D的面积S4.又阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积S阴4，所求事件的概率P1.与长度(角度)有关的几何概型(1)(2016全国卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：
4、30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.(2)如图1032所示，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，在DAB内作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_ 【导学号：31222400】图1032 (1)B(2)(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P.故选B.(2)以A为圆心，以AD1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C，P，B.依题意，
5、点P在上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P在上发生”又在RtABC中，易求BACBAC.故所求事件的概率P.规律方法1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置2(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求P.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比变式训练1(1)(2017唐山质检)设A为圆周上一点，
6、在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是()A.B.C.D.(2)(2016山东高考)在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_(1)B(2)(1)作等腰直角AOC和AMC，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|R，P.(2)由直线ykx与圆(x5)2y29相交，得3，即16k29，解得k.由几何概型的概率计算公式可知P.与面积有关的几何概型角度1与随机模拟相关的几何概型(2016全国卷)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平
7、方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.B.C.D.C因为x1，x2，xn，y1，y2，yn都在区间0,1内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个用随机模拟的方法可得，即，所以.角度2与线性规划交汇问题(2017华师一附中联考)在区间0,4上随机取两个实数x，y，使得x2y8的概率为()A.B.C.D.D由x，y0,4可知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其
8、中满足x2y8的区域为如图所示的阴影部分易知A(4,2)，S正方形16，S阴影12.故“使得x2y8”的概率P.与体积有关的几何概型在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.B1C.D1B设“点P到点O的距离大于1”为事件A.则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部V正方体238，V半球13.P(A)1.规律方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解 变式训练2如图10
9、33，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为_. 【导学号：31222401】图1033设四棱锥MABCD的高为h，由于V正方体1.则SABCDh，又SABCD1，h，即点M在正方体的下半部分，所求概率P.思想与方法1古典概型与几何概型的区别在于：前者基本事件的个数有限，后者基本事件的个数无限2判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个
10、几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域易错与防范1易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的2准确把握几何概型的“测度”是解题关键3几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果课时分层训练(六十三)几何概型A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为()A.B.C.D.B在区间2,3上随机选取一个数X，则X1，即2X1的概率为P.2如图1034所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它
11、落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是()图1034A.BC2D3D设阴影部分的面积为S，且圆的面积S329.由几何概型的概率得，则S3.3若将一个质点随机投入如图1035所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图1035A.B.C.D.B设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A).4(2015山东高考)在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为()A.B.C.D.A不等式1log 1可化为log2loglog，即x2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P.5已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内
12、任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是() 【导学号：31222402】A.B.C.D.A当点P到底面ABC的距离小于时，VPABCVSABC.由几何概型知，所求概率为P13.6(2017西安模拟)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为() 【导学号：31222403】A.B.C.D.D|z|1，即(x1)2y21，表示的是圆及其内部，如图所示当|z|1时，yx表示的是图中阴影部分S圆12，S阴影12.故所求事件的概率P.二、填空题7(2017郑州模拟)在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_. 【导学号：31222404】3由|x|m，得m
13、xm.当m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2m4时，由题意得，解得m3.8(2015重庆高考)在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_方程x22px3p20有两个负根，解得p1或p2.故所求概率P.9小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_去看电影的概率P1，去打篮球的概率P2，不在家看书的概率为P.10一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕
14、捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是_. 【导学号：31222405】屋子的体积为54360米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为133米3，故苍蝇被捕捉的概率是.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2015湖北高考)在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“xy”的概率，则()Ap1p2Bp2p1C.p2p1Dp1p2D如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“xy”对应的图形为阴影ODE(如图)，其面积为，故p1，则p1p2，故选D.2(2017陕西质检(二)在长方
15、形ABCD中，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，则取到的点到O点的距离大于1的概率为()A.B1 C.D1D由题意得长方形ABCD的面积为122，其中满足到点O的距离小于等于1的点在以AB为直径的半圆内，其面积为12，则所求概率为11，故选D.3随机地向半圆0y(a为正数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为_由0y(a0)，得(xa)2y2a2，因此半圆区域如图所示设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于，由几何概型的概率计算公式得P(A).4已知关于x的一元二次方程x22axb20.若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，则方程有实根的概率为_ 【导学号：31222406】设事件A为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成事件A的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab所以所求的概率为P(A).