1、考点测试30等差数列高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度考纲研读1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系一、基础小题1设等差数列an的前n项和为Sn，若a44，S972，则a10()A20 B23 C24 D28答案D解析由于数列an是等差数列，故解得a18，d4，故a10a19d83628.故选D.2在等差数列an中，若a3a52a104，则S13()A13 B14 C15 D16答案A解析数列an是等差
2、数列，设其首项为a1，公差为d，a3a52a104可转化为4a124d4，即a16d1，S1313a1d13(a16d)13，故选A.3九章算术中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是()A.斤B斤 C斤D3斤答案B解析依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，设首项a14，则a52，设公差为d，则244d，解得d.所以a24.故选B.4已知数列an
3、的前n项和为Sn，满足a1，Sn2an(n2)，则下面选项为等差数列的是()ASn1 BSn1C. D答案C解析由Sn2an(n2)得Sn(n2)S1，S2，S3，.故S11，S21，S31，则3，4，5，所以为等差数列故选C.5等差数列an和bn的前n项和分别为Sn与Tn，对一切自然数n都有，则等于()A. B C D答案D解析an和bn均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，.故选D.6在等差数列an中，a100，a110，且a11|a10|，则使an的前n项和Sn0成立的最大的自然数n为()A11 B10 C19 D20答案C解析数列an为等差数列，a100，a110，d0，又a11|
4、a10|，a11a10，即a10a110，由S202010(a10a11)0，S191919a100，可得使an的前n项和Sn0成立的最大的自然数为19，故选C.7设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S416，则数列an的公差d_.答案2解析解法一：由得解得解法二：由a23，S416，得(3d)3(3d)(32d)16，解得d2.8等差数列an的前n项和为Sn.已知am1am1a0，S2m138，则m_.答案10解析因为am1am1a0，数列an是等差数列，所以2ama0，解得am0或am2.又S2m138，所以am0不符合题意，所以am2.所以S2m1(2m1)am38，解得m10.二
5、、高考小题9(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n答案A解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S40，a55可得解得所以an32(n1)2n5，Snn(3)2n24n.故选A.10(2018全国卷)设Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C10 D12答案B解析设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得322d42d，解得d3，所以a5a14d21210，故选B.11(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公
6、差为()A1 B2 C4 D8答案C解析在等差数列an中，S648，则a1a616a2a5.又a4a524，所以a4a22d24168，解得d4.故选C.12(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a10，a23a1，则_.答案4解析由a10，a23a1，可得d2a1，所以S1010a1d100a1，S55a1d25a1，所以4.13(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5_，Sn的最小值为_答案010解析a2a1d3，S55a110d10，a14，d1，a5a14d0，ana1(n1)dn5.令an0，则n5，即数列an中前4项为负，a50，第
7、6项及以后为正Sn的最小值为S4S510.14(2019江苏高考)已知数列an(nN*)是等差数列，Sn是其前n项和若a2a5a80，S927，则S8的值是_答案16解析解法一：由S92727a1a962a562a18d6且a53.又a2a5a802a15d0，解得a15，d2.故S88a1d16.解法二：同解法一得a53.又a2a5a803a2a802a22a50a23.d2，a1a2d5.故S88a1d16.三、模拟小题15(2019厦门模拟)等差数列an中，Sn是它的前n项和，a2a310，S654，则该数列的公差d为()A2 B3 C4 D6答案C解析根据题意，等差数列an中，其公差为
8、d，因为a2a310，S654，所以a2a3(a1d)(a12d)10，S66a115d54，解得d4，a11，故选C.16(2019牡丹江二模)设等差数列an满足a511，a123，其前n项和Sn的最大值为M，则lg M()A1 B1 C2 D2答案C解析由a511，a123，得公差d2，所以an11(n5)(2)212n，所以a119，故Sn19n(2)n220n(n10)2100100，所以M100，所以lg M2.17(2019四川省达州市第一次诊断性测试)在等差数列an中，an0(nN*)角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(a2，a1a3)，则()A5 B4 C3
9、D2答案B解析角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(a2，a1a3)，可得tan2，则4.故选B.18(2019长春模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S130，则在数列中绝对值最小的项为()A第5项 B第6项 C第7项 D第8项答案C解析因为根据等差数列an的前n项和公式Sn，所以由得所以数列an中绝对值最小的项为第7项19(2019沈阳市高三第二次质量监测)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a11，S3a5，am2019，则m_.答案1010解析设等差数列an的公差为d，S33a1d3(a1d)，而a5a14d，由S3a5，a11可解得d2.又ama1(m1)d20
10、19，解得m1010.20(2019河南省八市重点高中高三第二次联合测评)将正整数1,2,3，n，排成数表如表所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行，第j列的数可用(i，j)表示，则100可表示为_第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列第1行123第2行987654第3行1011121314151617答案(8,9)解析第一行有a13个数，第二行有a26个数，且后一行比前一行多3个数，每一行的数的个数组成以3为首项，3为公差的等差数列，第n行有an33(n1)3n个数，由求和公式可得前n行共有n(33n)个数，经验证可得第8行的最后1个数为85，按表中
11、的规律可得第8行共24个数，第一个数为108，100为第8行的第9个数，故答案为(8,9)一、高考大题1(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5.(1)若a34，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围解(1)设an的公差为d.由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通项公式为an102n.(2)由(1)得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0；当n6时，an0.又因为a60，所以Sn的最小值为S5S630.3(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2
12、)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意，得3a13d15.又因为a17，所以d2.所以an的通项公式为an7(n1)22n9.(2)由(1)，得Snn(7)2n28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.二、模拟大题4(2019洛阳一模)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列，Sn为数列an的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)若d0，求Sn的最大值解(1)由题意得5a3a1(2a22)2，a110，50(102d)(222d)2，化简得d23d40，解得d1或d4，ann11或an4n6.(2)d0，d1，
13、ann11，Snn2n2，n等于10或11时，Sn取得最大值55.5(2020兰州市高三摸底考试)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.
14、所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列6(2019济南模拟)已知一次函数f(x)x82n.(1)设函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列an，求证：数列an是等差数列；(2)设函数f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)证明：由题意得an82n，因为an1an82(n1)82n2，且a1826，所以数列an是首项为6，公差为2的等差数列(2)由题意得bn|82n|.由b16，b24，b32，b40，b52，可知此数列前4项是首项为6，公差为2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列所以当n4时，Sn6n(2)n27n，当n5时，SnS4(n4)22n27n24.故Sn