1、第八章立体几何第三节空间点、直线、平面之间的位置关系A级基础过关|固根基|1.已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行解析：选C若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾2已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形解析：选B如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC.又FGBD，所以EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，所以EF
2、G90，故四边形EFGH为矩形3已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb，又a，b，所以P，P，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件4如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线AC B直线ABC直线CD D直线BC解析：选C由题意知，Dl，l，所以D.又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC
3、与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.5.如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是() AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线故选A
4、. 6给出下列四个命题： 平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交；若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面其中真命题的序号是_解析：正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点；正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交；正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面；错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内答案：7(2019届广安期末)给出以下四个结论：平行于同一直线的两
5、条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若，是两个平面，m，n是异面直线，且m，n，m，n，则；若在三棱锥ABCD中，ABCD，ACBD，则点B在平面ACD内的射影是ACD的垂心其中错误结论的序号为_(要求填上所有错误结论的序号)解析：由平行公理4可得平行于同一直线的两条直线互相平行，正确；垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，错误；若，是两个平面，m，n是异面直线，且m，n，m，n，由线面平行的性质定理可得过n的平面与平面交于n，可得nn，且n，由面面平行的判定定理可得，正确；若在三棱锥ABCD中，ABCD，ACBD，设点B在平面ACD内的射影为H，连接AH，CH，DH，由BH平
6、面ACD，可得BHCD，CDAB，BHABB，可得CD平面ABH，则CDAH，同理可得ACDH，可得H是ACD的垂心，正确答案：8如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以C1AD(或其补角)为异面直线AC1与BC所成角因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，则tanC1AD，所以异面直线AC1与
7、BC所成角的正切值为.答案：9在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1CA(或其补角)就是AC与A1D所成的角因为AB1ACB1C，所以B1CA60，即A1D与AC所成的角为60.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD，所以EFAC，所以EFA1C1，即A1C1与EF所成的角为90.10.如图，在正方体ABCDA1B1C
8、1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点求证：D1，H，O三点共线证明：如图，连接BD，B1D1，则BDACO，BB1DD1，四边形BB1D1D为平行四边形又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1.故D1，H，O三点共线.B级素养提升|练能力|11如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，P为边AB的中点，现将DAP绕直线DP翻转至DAP处，若M为线段AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的正切值为() A. B2C. D4解析：选A取AD的中点N，连接PN，MN，M是AC的中点，MNCD，且MNCD.四
9、边形ABCD是矩形，P是AB的中点，PBCD，且PBCD，MNPB，且MNPB，四边形PBMN为平行四边形，MBPN，APN(或其补角)是异面直线BM与PA所成的角在RtAPN中，tan APN，异面直线BM与PA所成角的正切值为.故选A.12(2019届长沙模拟)如图，在三棱柱ABCABC中，点E，F，H，K分别为AC，CB，AB，BC的中点，G为ABC的重心从K，H，G，B四点中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为_解析：取AC的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EMCCKF，得四边形EFKM为平行四边形，若取点K为P，则AABBCCPF，故与平面PEF平行的棱超
10、过2条，不符合题意；因为HBMK，MKEF，所以HBEF，若取点H或B为P，则平面PEF与平面EFBA为同一平面，与平面EFBA平行的棱只有AB，不符合题意；连接BC，则EFABAB，若取点G为P，则AB，AB与平面PEF平行答案：G13在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；B1EBC1.解析：因为AC平面BDD1B1，所以ACBE，故正确；因为B1D1平面ABCD，所以B1E平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV，为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误答案：14.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥OABCD的体积V42.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，即DE2EM2MD2，DEM为直角三角形，tanEMD，异面直线OC与MD所成角的正切值为.