1、微专题73 求参数的取值范围一、基础知识： 求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围 椭圆（以为例），则， 双曲线：（以为例），则（左支）（右支） 抛物线：（以为例，则（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程 （3）点与椭圆（以为例）位置关系：若点在椭圆内，则 （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变
2、量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有： 二次函数；“对勾函数”； 反比例函数； 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几
3、点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可二、典型例题：例1：已知椭圆，、是其左右焦点，离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程； （2）若分别是椭圆长轴的左右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围；解：（1） 椭圆方程为：代入可得： 椭圆方程为： （2）由（1）可得： 设，则 在椭圆上 即例2：
4、已知椭圆的离心率为，其左，右焦点分别是，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为 （1）求椭圆的方程（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围解：（1） 的周长 椭圆方程为： （2）设直线的方程为， 联立直线与椭圆方程： ，解得： ，代入可得： 由条件可得： ，代入可得： 例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且在所有过焦点的弦中，弦长的最小值为（1）求椭圆方程（2）若过点的直线 与椭圆交于不同的两点（在之间），求三角形与三角形面积比值的范围解：（1） 由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为 椭圆方程为 （2）设， 联立直线与椭圆方程： 同号
5、设，所解不等式为： ，即例4：已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程（3）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围解：（1） 与圆相切 即，解得（2）由（1）可得 线段的垂直平分线交于点即的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，设为 （3）思路：由已知可得，设，则所求为关于的函数，只需确定的范围即可，因为，所以有可能对的取值有影响，可利用此条件得到关于的函数，从而求得范围。解：与椭圆的交点为，设，因为，化简可得：
6、考虑由可得时，可得例5：已知椭圆的离心率，左焦点为，椭圆上的点到距离的最大值为（1）求椭圆的方程（2）在（1）的条件下，过点的直线与圆交于两点，与点的轨迹交于两点，且，求椭圆的弦长的取值范围解：（1）由离心率可得： 依题意可得： 可得：椭圆方程为：（2）由（1）可得椭圆方程为 不妨设 当直线斜率不存在时，符合题意，可得： 当直线斜率存在时，设直线 在圆中 可得：解得：设，联立直线与椭圆方程：消去可得： 由可得：综上所述：的取值范围是例6：已知椭圆的两个焦点，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为（1）求椭圆的方程（2）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两
7、条切线，设切点分别为，若直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围解：（1）使得的点恰有两个的最大值为为短轴顶点时，到焦点的距离的最大值为椭圆的方程：（2）由椭圆方程可得圆设，由圆的性质可得：代入可得：满足方程则到的距离下面计算：联立方程设不妨设设，所以设在单调递增所以，即例7：已知椭圆过点，且离心率（1）求椭圆方程（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围解：（1）可得：椭圆方程为，代入可得：椭圆方程为：设，联立方程可得： 设中点，则则的中垂线为：，代入可得：，代入可得：或即的取值范围是例8：在平面直角坐标系中，原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦（1）求
8、抛物线的准线方程和焦点坐标;（2）当时，设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆相切，求半径的取值范围？解：（1）由抛物线可得：，准线方程： （2）设直线， ，联立方程： 与圆相切 ，不妨令 则，令 在单调递减，在单调递增 则若关于的方程有两解，只需关于的方程有一解时，与有一个交点 例9：已知椭圆的离心率为，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是 （1）求椭圆的方程（2）设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率和取值范围解：（1） 的周长 椭圆方程为： （2）由椭圆方程可得： ，设过且与圆相切的直线方程为 ，整理可得： 两条切线斜率是方程的两根联
9、立直线与椭圆方程可得：消去可得： ，同理可得： 由可得： 设，可知为增函数， 例10：已知椭圆，其中为左右焦点，且离心率为，直线与椭圆交于两不同点，当直线过椭圆右焦点且倾斜角为时，原点到直线的距离为（1）求椭圆的方程（2）若，当的面积为时，求的最大值解：（1）设直线 椭圆方程为（2）若直线斜率存在，设， 联立方程：消去可得：，整理可得：考虑即等号成立条件：时的最大值是当斜率不存在时，关于轴对称，设，再由可得：可计算出所以综上所述的最大值是三、历年好题精选1、已知点是双曲线上的动点，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2、（2015，新课标I）已知是双
10、曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3、（2014，四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是_4、（2016，广东省四校第二次联考）抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 5、（2016，贵州模拟）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且是线段的中点，若果三点的圆恰好与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）过定点的直线与椭圆交于两点，且.若实数满足，求的取值范围.6、（2015，山东理）平面直角坐标系中，已知椭圆的
11、离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上.（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点求的值；求面积最大值.7、（2014，四川）已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆的标准方程（2）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点 证明：平分线段（其中为坐标原点） 当最小时，求点的坐标8、（2014，湖南）如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且 （1）求的方程（2）过作的不垂直于轴的弦为的中
12、点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值9、（2014，山东）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当的横坐标为3时，为正三角形（1）求的方程（2）若直线，且和有且只有一个公共点 证明直线过定点，并求出定点坐标 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 10、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.（1）求椭圆的方程;（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由
13、;（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.11、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的焦距为2（1）若椭圆经过点，求椭圆C的方程；（2）设，为椭圆的左焦点，若椭圆存在点，满足，求椭圆的离心率的取值范围；12、已知定点，曲线C是使为定值的点的轨迹，曲线过点.（1）求曲线的方程；（2）直线过点，且与曲线交于，当的面积取得最大值时，求直线的方程；（3）设点是曲线上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交曲线的长轴于点，求的取值范围. 13、已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分
14、别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围14、已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.(1) 求椭圆的方程；(2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围. 习题答案：1、答案：B解析：设，其中，由焦半径公式可得： 代入可得：因为 所以解得由对称性可知：当时，2、答案：A解析：由可得，所以，则，由得：代入到不等式：，解得 3、答案：5解析：由两条动直线 可得两条信息：两个定点坐标，且两条直线垂直，垂足即为，所以为直角三角形，可知，由均值不等式可得，等号成立当且仅当 4、答案：A解析：过分别作准线的垂线，垂足设为设，由
15、抛物线定义可得：在梯形中，可得为中位线由余弦定理可知在中， 5、解析：设椭圆的半焦距为由为线段中点，所以三点圆的圆心为，半径为又因为该圆与直线相切，所以所以，故所求椭圆方程为；（2） 若与轴不垂直，可设其方程为，代入椭圆方程可得，由，得设，根据已知，有于是消去，可得因为，所以即有，有6、解析：（1） 椭圆离心率为， 左、右焦点分别是,圆：圆：由两圆相交可得，即，交点，整理得，解得（舍去）故椭圆C的方程为.（2） 椭圆E的方程为，设点，满足，射线，代入可得点，于是. 点到直线距离等于原点O到直线距离的3倍：，得，整理得 ，当且仅当等号成立.而直线与椭圆C：有交点P，则有解，即有解，其判别式，即，
16、则上述不成立，等号不成立，设，则在为增函数，于是当时，故面积最大值为12.7、解析：（1）由已知可得：解得： 椭圆方程为： （2） 由（1）可得：，设 所以设，联立椭圆方程可得： 设为的中点，则点的坐标为 的斜率 在上，即平分 由可得： 由弦长公式可得： 等号成立当且仅当最小时，点的坐标为 8、解析：（1）由可得： （2）由（1）可得：，设直线，联立方程可得： 设 中点 即 与双曲线联立方程可得： 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，因为点在直线的异侧 由 时， 综上所述：四边形面积的最小值为29、解析：（1）依题意可知，设，则的中点为 由抛物线定义可知：，解得：或（舍） 抛物线方程为：
17、 （2） 由（1）可得，设 的斜率为 直线设直线，代入抛物线方程： 和有且只有一个公共点 设，则可得： 当时， ，整理可得： 恒过点 当时，可得：，过点过点 由可得：过点 设 在直线上， 设 直线的方程为 代入抛物线方程可得： ，等号成立当且仅当 10、解析：（1）由左顶点为可得，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为.（2）直线的方程为，由消元得，.化简得，所以，.当时，所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为. （3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为由，得，当且仅当即时取等号，所以当时，
18、的最小值为11、解析：（1）依题意可得：将代入椭圆方程可得：解得：椭圆方程为（2）可知，设，可知：由可得：，整理可得：联立方程：，可解得： ，即12、解析：（1） 2分曲线C为以原点为中心，为焦点的椭圆设其长半轴为,短半轴为,半焦距为，则，曲线C的方程为 4分（2）设直线的为代入椭圆方程，得，计算并判断得，设,得到直线的距离，设，则当时，面积最大的面积取得最大值时，直线l的方程为：和 9分（3）由题意可知：=,= 设其中，将向量坐标代入并化简得：m（， 因为，所以， 而，所以 13、解析：(1)设椭圆的焦距为2C，因为a=,所以椭圆C的方程为.(2)设,联立直线与椭圆方程得：,则,M()到直线的距离。,显然若点H也在直线AB上,则由对称性可知,直线就是y轴与已知矛盾,要使得|AG|=|BH|,只要|AB|=|GH|,当时,，当k时, ,综上.14、解析：(1)由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时，即取最大值，且.由得又为定值，综上得；又由，可得，即，经计算得，故椭圆方程为.(2) 当直线与中有一条直线垂直于轴时，.当直线斜率存在但不为0时，设的方程为：，由消去可得：，代入弦长公式得：，同理由消去可得，代入弦长公式得：，所以令，则，所以，由可知，的取值范围是.