1、第2节等差数列【选题明细表】知识点、方法题号等差数列的判定与证明9,14等差数列的基本运算1,8,10等差数列的性质2,4,6,7等差数列的单调性、最值3,5等差数列的综合应用11,12,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016江西南昌十所省重点中学二模)设an为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1等于(B)(A)18 (B)20(C)22 (D)24解析:由S10=S11得a11=0,即a1+10d=0.由于d=-2,所以a1=20.故选B.2.设等差数列an的前n项和为Sn,若a4=9,a6=11,则S9等于(B)(A)180(B)90(C)72
2、(D)100解析:S9=90.故选B.3.设等差数列的公差为d,若数列为递减数列,则(D)(A)d0(B)d0 (D)a1d0解析:由于数列为递减数列,得,再由指数函数性质得a1ana1an-1,由等差数列的公差为d知,an-an-1=d,所以a1ana1an-1,a1an-a1an-10,所以a1(an-an-1)0,即a1d0且=,则当Sn取最大值时,n的值为(B)(A)9 (B)10(C)11 (D)12解析:由题意,不妨设a6=9t,a5=11t,则公差d=-2t,其中t0,因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,Sn取得最大值,故选B.6.(2016江西红色七校联考)等差数列a
3、n,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若=(nN*),则等于(A)(A)16 (B)(C) (D)解析:令Sn=38n2+14n,Tn=2n2+n,所以a6=S6-S5=3862+146-(3852+145)=3811+14=432;b7=T7-T6=272+7-(262+6)=213+1=27,所以=16.故选A.7.(2016福建四地六校联考)已知等差数列an中,a3=,则cos(a1+a2+a6)=.解析:因为a1+a2+a6=3a3=,所以cos(a1+a2+a6)=cos =-.答案:-8.(2016宁波效实中学期中)数列an的前n项和为Sn=n2-6n,则a2=;数列|an|的前10
4、项和|a1|+|a2|+|a10|=.解析:当n=1时,a1=S1=-5;当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-6n-(n-1)2+6(n-1)=2n-7,所以a2=22-7=-3,所以|a1|+|a2|+|a10|=5+3+1+1+3+13=9+7=9+49=58.答案:-3589.(2016广东3月测试)已知数列an的各项均为正数,Sn为其前n项和,且对任意nN*,均有an,Sn,成等差数列,则an=.解析:因为an,Sn,成等差数列,所以2Sn=an+,当n=1时,2a1=2S1=a1+,又a10,所以a1=1.当n2时,2an=2(Sn-Sn-1)=an+-an-1-,所以(-)-(a
5、n+an-1)=0,所以(an+an-1)(an-an-1)-(an+an-1)=0,又an+an-10,所以an-an-1=1,所以an是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n(nN*).答案:n10.导学号 18702250若等差数列an的公差d0,an+1-an=2,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.所以an=2n-1.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016银川二模)等差数列an中的a1,a4 031是函数f(x)=x3-4x2+6x-1的极值点, 则log2a2 016等于(A)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:因为f(x)=x2-8x+6,所以a1+a4 0
6、31=8,即2a2 016=8,所以a2 016=4,所以log2a2 016=log24=2.故选A.13.将全体正整数排成一个如下的三角形数阵:根据以上排列规律,数阵的第n(n3)行中从左到右的第3个数是.解析:由题意知该数阵的第1行有1个数,第2行有2个数,第n行有n个数,则第(n-1)行的最后一个数为=,所以第n行的第3个数为+3.答案:+314.导学号 18702251数列an满足an=3an-1+3n-1(nN*,n2),已知a3=95.(1)求a1,a2;(2)是否存在一个实数t,使得bn=(an+t)(nN*),且bn为等差数列?若存在,则求出t的值;若不存在,请说明理由.解:
7、(1)n=2时,a2=3a1+32-1.n=3时,a3=3a2+33-1=95,所以a2=23,所以23=3a1+8,所以a1=5.(2)当n2时,bn-bn-1=(an+t)-(an-1+t)=(an+t-3an-1-3t)=(3n-1-2t)=1-,要使bn为等差数列,则必须使1+2t=0,所以t=-,即存在t=-,使bn为等差数列.15.(2016全国卷)已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.解:(1)由已知a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.所以数列an是首项为2,公差
8、为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,因此bn是首项为1,公比为的等比数列.记bn的前n项和为Sn,则Sn=-.好题天天练在数列an中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n2).(1)证明数列是等差数列;(2)求数列an的通项;(3)若an+对任意n2的整数恒成立,求实数的取值范围.(1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n2)得,-=3(n2),所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.解:(2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2.所以an=.(3)an+对n2的整数恒成立,即+3n+1对n2(nN*)恒成立.整理得(n2,nN*),令Cn=,Cn+1-Cn=-=.因为n2,所以Cn+1-Cn0,所以Cn为单调递增数列,C2最小,且C2=,故的取值范围为(-,.