1、微专题59 新信息背景下的数列问题 含“新信息”背景的数列问题，以其难度通常位于试卷的最后一题。此类问题有以下几个难点：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点，传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”。但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向。三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系，即前面问题的处理是为了最后一问做好铺垫。但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡
2、然增加。本节通过10道例题来说明如何对这种“新信息”题目进行理解与分析，如何寻找到解题的突破口与思路一、基础知识：1、此类问题常涉及的知识点（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式（2）数列的单调性（3）放缩法证明不等式（4）简单的有关整数的结论（5）数学归纳法与反证法2、解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路
3、（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法。所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索。（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。二、典型例题：例1：定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别的，若存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”（1）若数列为“部分平方数列”，且，求使数列的前项和为完全平方数时的值（2
4、）若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由（3）试求所有为“完全平方数列”的等差数列解：（1）思路：依题意可知先求出的表达式，再根据表达式的特点寻找到完全平方式即可时， 时，时，是完全平方数（2）思路：若要观察的前项和是否为完全平方数，则要先求出的通项公式。由可求得，因为为完全平方式，所以若有些项为中对应项的相反数，则再求和时很有可能不是完全平方数。根据时，可知只有时，恒大于0，即，所以是“完全平方数列”；时，中存在部分项小于0，可知不是“完全平方数列”解：时， 时， 当，时， 的前项和即为，所以为“完全平方数列”当时，不是完全平方数不是“完全平方数列
5、”综上所述：时，是“完全平方数列”，时，不是“完全平方数列”（3）思路：依题意可知该等差数列的前项和公式应为完全平方式，由等差数列求和公式出发，可将其通过配方向完全平方式进行靠拢，可得：，所以有，再根据利用整数的特性求解即可。解：设所求等差数列 的首项为，公差为 若为“完全平方数列”则，为完全平方式 由可令 由令，可得： 代入到可得： 或 当时， 当时， 当时，符合上式综上所述， 例2：已知数列的前项和为，且满足，设，（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其中设这个新数列的前项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”问中的项是否存在“指数型
6、和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由（1）思路：证明为等比数列，可以利用条件中的作为中间桥梁寻找的关系，则有，只需找到的关系，由及可得：，进而代入解出 解： 为公比是的等比数列 （2）思路：由（1）可解出，进而可求出，由可在的情况下得到关于的恒成立不等式，从而通过参变分离可求出的范围：，再验证是否成立即可解：由（1）可得： 时， 时， 即 当时，成立 （3）思路：时，可代入求出，从而，利用“指数型和”的定义，可先求出前项和，从而将问题转化为可否写成的形式，本题不便将变形为的形式，所以考虑利用等式转化为方程是否有解的问题。即判断是否有解。，为偶数时，为奇数时，。而只是个2相乘
7、，所以可通过对分解后的每个因式能否表示为的形式进行讨论即可。解：由（1）可得：当时， 当时，时， 假设中的项存在“指数型和”，则使得： 当为偶数时：设，则 可解得： ，即，为“指数型和”当为奇数时，若为偶数，则为奇数，为奇数为奇数，若为奇数，则为偶数，为个奇数之和也为奇数 当为奇数时，不存在“指数型和”综上所述：只有为“指数型和” 例3：如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，那么就称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和 （3）已知有穷等差数
8、列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否为“兑换数列”？如果是，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不是，请说明理由（1）思路：依照“兑换数列”的定义可知，应均在数列中，在第（1）问中涉及两个变量，故考虑寻找两个等量，通过方程解决。其最重要的等量关系就是找到是数列中的哪一项。通过排序可知，则通过不等式性质可知：，此数列一共就4项且单调递增，所以得，从而解得 解：由已知可得：在“兑换数列”中，且 也在该数列中，且 （2）思路：第（1）问提供了这样一个思路：如果数列是有限数列且单调，则由对应生成的数列也单调，且单调性相反。由“兑换数列”的定义即可知两个数列中项应存在相等关系。所以利用这个特征
9、可知在中，由且能够得到，即，根据首尾和是个常数的特点可知求和时使用倒序相加法即可得到 解：不妨设有穷数列的项数为 为递增数列 即 （3）思路：由（2）可得：若有穷单调数列 为“兑换数列”，则要满足。那么在等差数列 中，有性质当且仅当，所以就可得到：，且等差数列若不是常数列，则为单调数列。由这两点并结合（2）的思路则可证明等差数列均为“兑换数列”，再通过等差数列前项和公式即可解出数列是“兑换数列”，证明如下：设的公差为 若，则递增 设，由可得： 同理，若，则递减 若，则为常数列，只需即可，则 为“兑换数列” 由（2）可知： 例4：设数列满足：；所有项；来设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数
10、列中满足不等式的所有项的项数的最大值我们称数列为数的伴随数列例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3（1）若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；（2）设，求数列的伴随数列的前30项之和；（3）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和（1）思路：首先要根据例子及定义理解什么是“伴随数列”，“是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值”，则意味着每取一个值，则可通过解不等式得到的最大值即为，那么按此规律可知在（1）中，说明在中，小于等于3的只有1项，即，则，所以，同理，则 解： （2）思路：由（1）可知：伴随数列中的项即为解不等式得到的最大值，本题已知，则可
11、建立不等式，则对取每一个值，计算的最大值即可。例如，则；，则；以此类推便可寻找到规律，即时，即，抓住这个规律即可得到的前30项，进而求和 若考虑解关于的不等式 当时， 当时， 当时， 当时， 的前30项和为 （3）思路：已知即可求出数列的通项公式，再结合（2）对“伴随数列”定义的使用，即可建立不等式，从而可得到：，根据项的的特点可考虑以相邻两项为一组进行求和，则需对项数进行奇偶分类讨论，进而得到 ，则 解关于的不等式 时，即 当时，即 综上所述： 例5：对于数列，若满足，则称数列为“数列”，定义变换：将“数列”中原有的每个1都变成，原有的每个0都变成.例如：，则，设是“数列”，令 （1）若数列
12、，求数列 （2）若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由（3）若，记数列中连续两项都是的数对个数为，求关于的表达式（1）思路：依题意可知变换的特点为1项分裂为2项，所以可将中的项两两一组，再根据规则即可还原为，照此方法即可得到 解：由变换的规则可知： （2）思路：首先可先观察两次变换的特点，可知，发现无论是从1开始还是从0开始，两次变换后均可得到一对相邻的数，且首尾也相同，这意味着若中若含相邻的数，则两次变换后这两个数生成的数首尾也将连接成相邻的数对，例如：。进而可知：共有10项，那么两次变换后至少会有对，（例如当时）若作两次变换：，中的每一项通过两次变换均生成一对
13、两项相等的数对，所以至少有10对（3）思路：依题意可将视为一个数列，则所求即为该数列的通项公式。由数列的知识可知，求通项公式常用的手段有三种：利用数列中的项寻找规律并证明；通过递推公式；通过求和公式。所以若不愿列出具体项寻找规律，则需要先找到关于的一个递推公式，即寻找第次变换与前几次变换数对的联系。由（2）可知，若产生数对，则上一步只能为，所以数对的个数与上一步数对（记为）的个数相同。即，再考虑数对的来源，共有两个，一个是由上一步的得到，一个是由上一步的得到由变换的规则及（2）可知：中数对只能由中的数对生成，中的1共有个（因为每一次变换生成相同个数的，所以中含个1，个0），所以，联立两个等式可
14、得：，消去即可得到关于的递推公式，然后再求得的通项公式即可解：设中有个数对 另一方面：，且中和的总个数相等 中项有个中有个，有个而中的数对从处只有两条途径能够得到：一个是由中的得到（个），一个是由中的得到（个） 由可得： 由，可得： 当为偶数时 当为奇数时： 综上所述： 例6：已知数列是正整数的一个全排列，若对每个都有或，则称为数列（1）写出满足的所有数列 （2）写出一个满足的数列的通项公式（3）在数列中，记，若数列是公差为的等差数列，求证：或 解：（1）或（2）思路：中的项为的一个全排列，所以在构造最好符合一定的规律，以便于写出通项公式，由（1）的启发可知的前5个数可为第（1）问中的一种情况
15、，因为或，即只关心相邻两项的差，故可为的一个排列，且，这样就保证了在第2组中，相邻项的差均符合条件，只需验证即可：以为例，则，可知符合题意。按此规律构造，5个数为一组，第组的数为第组对应的数加上5，从而得到 解：由（1）可知，记为的第一组数考虑构造数列满足，则对任意的，或 且当时， 符合要求 综上所述： （3）思路：若的公差为，则，因为中相邻项的差为，所以必然由若干个组成，但不会同时出现且不会同时出现（否则数列会出相同项，不符题意） 即可以写成的形式，且，由此可解得，然后根据的取值分别进行验证，看中的项是否在中（主要抓住），即可判断出的值只能是 解：为等差数列 且由或，可得：或 且 若，则 ，
16、不符题意 若，则 ，不符题意 若，则 当时，不符题意当时，或，所以可以找到这样的使之成立（例如第（2）问中的结论） 若，则，可得不符题意 若，则当时，不符题意当时，同可以找到这样的使之成立（例如第（2）问中的结论） 若，则 ，不符题意综上所述，若为等差数列，则或 例7：若有穷数列满足：（1）；（2），则称该数列为“阶非凡数列”（1）分别写出一个单调递增的“3阶非凡数列”和一个单调递减的“4阶非凡数列”（2）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式（3）记“阶非凡数列”的前项的和为，求证： 解：（1）3阶非凡数列： 4阶非凡数列： （2）思路：首先明确其通项公式应该是关于和序数的表达式，要求
17、得通项公式，关键要确定，因为非常数列的等差数列为单调数列，所以由一方面利用等差数列性质可得到，另一方面也可知该数列以为分界线，左右两侧分为正项与负项（与的符号有关），可分进行讨论。当时，为递增数列，从而可知为负项，为正项。再由可得，从而用可表示出，另一方面，进而均可用表示，所以可求得其通项公式。按同样的方法可求出时的通项公式解：设等差数列的公差为 即 当时，为递增数列，且； 且 当时，为递减数列，同理可得：， 即 （3）证明：当时， 当时， 思路一：本题的难点在于不知中各项的符号，但从（1）（2）问可得到一个规律，任意“归化数列”，其正项和为，负项和为，进而可以考虑在求和时正项一组，负项一组进
18、行放缩。解：依题意可得：中的项有正有负设中的正项为，负项为，零项为而（所有系数放大为1）（所有系数变为）思路二：本题从通项公式入手，考虑，从而，合并同类项即可得到：，联想到裂项相消，且由第问可知，可利用放缩及绝对值不等式得到解： ，且 即不等式得证小炼有话说：（1）对于“新概念”的题目，要善于利用具体实例或者前面的小问掌握其规律，为最后一问做准备。在本题中通过前两问所总结出的“正项和为，负项和为”即为第三问的突破口（2）从一个已知数列中抽出若干项形成新数列，要善于运用双字母进行书写。可参考本题中的写法。可以表示出新数列的项源自于的第几项，而表示新数列中该项的序数。一种写法，两个含义均显现其中。
19、例8：对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列例如，数列的一个生成数列是已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和（1）写出的所有可能值；（2）若生成数列满足，求数列的通项公式；（3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为（1）思路：由“生成数列”的定义可知的前三项可能的值为，进而通过不同的组合可求得 解：由已知可得：，且 可能的求和为： 可能的取值为 （2）思路：本题已知的表达式，可类比在数列中已知求数列通项的方式，得到，计算可得：，由为生成数列可得： ，通过合理组合即可得到：，从而得到通项公式 当时， 当时， 数列为数列的生成数列 若，则以上各
20、种组合中，只有 （3）思路：由生成数列的定义可知，所以其共计中情况。而观察中元素的个数恰好也为个（从取到个），且本题无法一一计算出，故从可取的值的个数与元素个数相等作为突破口，若要证取值集合所给集合相等，则可通过两个步骤证明：一是证明的值一定都在中，可通过，其中为奇数可得，二是证明对于不同的生成数列，其和也必然不同（利用反证法），进而再利用可取的值的个数与的个数均为即可证明结论共有种情况，即： ，可知为奇数满足且分子为奇数的共有种共有种情况只需证明两个不同的生成数列，其和不同即可设数列为两个不同的生成数列，且和分别记为 则 为生成数列，所以 或 不同，使得 所以种不同的生成数列，其和共有种可能
21、只有种可能可能值必恰为，共个的所有可能值组成的集合为例9：有限数列同时满足下列两个条件： 对于任意的（），； 对于任意的（），三个数中至少有一个数是数列中的项.学（1）若，且，求的值；（2）证明：不可能是数列中的项；（3）求的最大值解：（1）由可知： 考虑，依题意三个数至少有一个在中且 均不在中 （2）思路：本题并不容易去证明“不可能”，故考虑用反证法，先假设可能，再推出矛盾。若均在中，则中至少有一项在里，此时就会“创造出一项”位于中，进而可知这种“创造”是无休止的，所生成的新的项要大于之前的每一个数（数列递增）那么以此类推下去，的项数会无限增加下去，与“为有限数列”矛盾。所以本题的证明可以以
22、“为有限数列”为突破口，假定最后的三项为，则，则比都大，那么只能为，即，同理对于，也可得到，从而推出，与数列递增矛盾。所以不可能是数列中的项解：（反证法）：假设是数列中的项由可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且.由，. 对于数，由可知：；对于数，由可知：. 所以 ，这与矛盾.所以 不可能是数列中的项. （3）思路：本题的主旨在于尽可能构造项数多的，由（2）的证明过程可提供一条线索，当大于1的项超过3项时，则不成立，所以可知中至多有3项，且这3项中两项的乘积等于第三项。同时还可对其进行推广得到中至多有3项，绝对值大于1；然后可将这种思路拓展至其它范围，比如绝对值
23、在0至1之间同理也至多只有3项。再补充上，所以的最大值为，可构造为解：的最大值为，证明如下： （1）令，则符合、. （2）设符合、，则： 中至多有三项，其绝对值大于1.假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，是中绝对值最大的四项，其中.则对有，所以均不是数列中的项，即是数列中的项同理：也是数列中的项但 ，与矛盾中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（）得出矛盾.中至多有两项绝对值等于1.中至多有一项等于0.综合可知中至多有9项. 由（1），（2）可得，的最大值为9.例10：对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示，对于实数
24、，无穷数列满足如下条件： 其中. （1）若，求数列；（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合（3）若是有理数，设 （是整数，是正整数，、互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论 （1）思路：按照题目规则可知即为的小数部分，所以只有确定介于哪两个整数之间，才能够求出。由得，由得，进而发现，且计算的过程与计算相同，可猜想，考虑到可由求出，所以用数学归纳法即可证明解： 猜想，下面用数学归纳法证明：当时， 假设时，则时 成立（2）思路：由（1）的过程可知本题在计算各项时关键要把握住“”里面数的范围， ，意味着故的范围是本问的关键，由得，所以要对分为进行分类讨论，从而确
25、定的结果，得到关于的方程，求解即可依题意可知 当时， ，解得： 当时， ，解得： 当时， ，解得： 综上所述： （3）思路：因为，从而，所以也可写成“”的形式，且，所以均可表示为的形式，依规则可知一旦，则后面的项均为0，所以要证明大于的任意正整数，则需要在中寻找出得0的项。本题已知递推公式，所以考虑以相邻项的关系入手，即寻找与的关系，确定的范围是关键，对于且可知利用带余除法得到，从而中，所以，再由即可得到，从而可知为递减数列，且均为正整数。则有，此处便可发现突破口，小于的正整数共有个，但中小于的项共有个，则里面必含，即证明结论解：该结论成立，证明如下： ，即，为正有理数或0设，则有 ，即 若，
26、则可知，所以当时，均有 若，可设 ，依假设可知 由可得： 为递减数列，且 对于给定的，若均不为0，则即小于的整数有个但小于的正整数为共个，所以矛盾中至少有一个为0，即存在，使得从而 ，均有，即 三、历年好题精选1、(2016，北京西城一模)设数列和的项均为，则将数列和的距离定义为.（1）该出数列和数列的距离（2）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，和的距离小于，求得最大值；（3）记是所有项数列或的集合，且由任何两个元素的距离大于或等于，证明：中的元素个数小于或等于.2、已知数列满足，且当时，记（1）写出的所有可能的值；（2）求的最大值3、设数列共有项，记该数列前
27、项中的最大项为，该数列后项中的最小项为，.（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.4、设是关于的次多项式，数列的首项，前项和为，对于任意的正整数都成立（1）若，求证：数列是等比数列（2）试确定所有的自然数，使得能成等差数列5、（2016，上海五校联考）数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称数列是“E数列”（1）数列的前项和，判断数列是否为“E数列”，并说明理由（2）数列是等差数列，其首项，公差，若数列 是“E数
28、列”，求的值（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“E数列”，使得成立习题答案：1、解析：（1）由公式可得：（2）由可得：数列为周期是4的周期数列中，中，由可知，越大，其距离越大 时， （3）证明，假设中的元素个数大于或等于17个或可能的组合为：中的数列必有三个相同的设这三个数列分别为：其中因为三个数列中每两个的距离大于或等于3所以中，至少有3个成立或中必有一个成立同理中必有一个成立，中必有一个成立即“中至少有两个成立”，或“中至少有两个成立”中必有一个成立和中必有一个成立，与题意矛盾假设不成立 中的元素个数小于或等于16个2、解:（1）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：； ；所以，的
29、所有可能的值为：， （2）由， 可设，则或（，），因为，所以 因为，所以，且为奇数，是由 个1和个构成的数列所以则当的前项取，后项取时最大，此时证明如下：假设的前项中恰有项取，则的后项中恰有项取，其中， 所以的最大值为 3、解析：（1）单调递增 （2）由题意可得：，由可得： 即单调递增，所以是公差为2的等差数列（3）构造数列，其中，可知是递增数列，可知单调递增，满足题意4、解析：（1）证明：若，则为常数，设 是公比为的等比数列（2）解：若，由（1）可得不符题意，舍去若，设两式相减可得：若为首项是1，公差为的等差数列，则，即为常数列若，设同理，若为首项是1，公差为的等差数列，则，且，符合题意时，存在为等差数列当时，若为等差数列，则为不高于二次的多项式，所以综上所述：时，存在为等差数列5、解析：（1）时，时， 当时，假设存在使得 则 不是“E数列”（2）由的条件可得： 为“E数列” （3）若等差数列（为常数）则的前项和是该数列的第项为“E数列”对任意等差数列，设 则令 根据上式可知均为“E数列”，且 命题得证