1、22基本不等式第1课时基本不等式1理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件2会用基本不等式证明简单的不等式两个不等式叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数温馨提示：“当且仅当ab时，等号成立”是指若ab，则a2b22ab，即只能有a2b22ab，0时，a2，当a0时，a23判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意a，bR，a2b22ab、ab2均成立()(2)若a0，则a2 4.()(3)若a，bR，则ab2.()答案(1)(2)(3)题型一 对基本不等式的理解【典例1】给出下面三个推导过程：因为a，
2、b(0，)，所以2 2；因为aR，a0，所以a2 4；因为x，yR，xy0，所以2 2.其中正确的推导过程为()A B C D思路导引根据基本不等式中的条件进行判断解析从基本不等式成立的条件考虑因为a，b(0，)，所以，(0，)，符合基本不等式成立的条件，故的推导过程正确；因为aR，a0不符合基本不等式成立的条件，所以a2 4是错误的；由xy0，b0)的2个关注点(1)不等式成立的条件：a，b都是正数(2)“当且仅当”的含义：当ab时，的等号成立，即ab；仅当ab时，的等号成立，即ab.针对训练1下列命题中正确的是()A当a，bR时，2 2B当a0，b0时，(ab)4C当a4时，a2 6D当a
3、0，b0时，解析A项中，可能0，20，相乘得(ab)4，当且仅当ab时等号成立，所以正确；C项中，a2 6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，(a0，b0)，所以D不正确答案B题型二 利用基本不等式证明不等式【典例2】(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：abc.(2)已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：8.思路导引(1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式；(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1，可由此变形入手证明(1)a0，b0，c0，ab20，bc20，ca20.2(
4、abc)2()，即abc.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立abc.(2)a，b，c为正实数，且abc1，1，同理1，1.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得8.当且仅当abc时，等号成立(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式针对训练2已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2.证明由基本不等式可得：a4b
5、4(a2)2(b2)22a2b2，同理：b4c22b2c2，c4a42a2c2，(a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2，从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2.课堂归纳小结利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.1若ab0，则下列不等式不一定能成立的是()Aa2b22ab Ba2b22abC D2解析C选项由条件可得到a、b同号，当a、b均为负号时，不成立答案C2已知a1，则，三个数的大小顺序是()A. B.C.
6、D.1，即ab，故上式不能取等号，选C.答案C3.2成立的条件是_解析只要与都为正，即a、b同号即可答案a与b同号4设a，b，c都是正数，试证明不等式：6.证明因为a0，b0，c0，所以2，2，2，所以6，当且仅当，即abc时，等号成立所以6.课后作业(十一)复习巩固一、选择题1不等式a212a中等号成立的条件是()Aa1 Ba1Ca1 Da0解析a212a(a1)20，a1时，等号成立答案B2对xR且x0都成立的不等式是()Ax2 Bx2C. D.2解析因为xR且x0，所以当x0时，x2；当x0，所以x2，所以A、B都错误；又因为x212|x|，所以，所以C错误，故选D.答案D3若0ab且a
7、b1，则下列四个数中最大的是()A. Ba2b2C2ab Da解析a2b2(ab)22ab(ab)222.a2b22ab(ab)20，a2b22ab，0ab且ab1，a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件解析当a0，b0时，ab2，则当ab4时有2ab4，解得ab4，充分性成立当a1，b4时满足ab4，但此时ab54，必要性不成立，综上所述，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件答案A5已知x0，y0，xy，则下列四个式子中值最小的是()A. B.C. D.解析解法一：xy2，排除B；(xy)2x2y22xy，排除A.
8、解法二：取x1，y2.则；.其中最小答案C二、填空题6已知abc，则与的大小关系是_.解析abc，ab0，bc0.，当且仅当abbc，即2bac时取等号答案7若不等式2恒成立，则当且仅当x_时取“”号解析22，其中当且仅当x211x20x0时成立答案08若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(填序号)ab1；a2b22；a3b33；2.解析令ab1，排除；由2ab2ab1，正确；a2b2(ab)22ab42ab2，正确；2，正确答案三、解答题9设a，b，c都是正数，求证：abc.证明因为a，b，c都是正数，所以，也都是正数所以2c，2a，2b，三式相加得22(ab
9、c)，即abc，当且仅当abc时取等号10已知a0，b0，ab1，求证9.证明证法一：因为a0，b0，ab1，所以112，同理12，故52549.所以9(当且仅当ab时取等号)证法二：因为a，b为正数，ab1.所以111，ab2，于是4，8，因此189.综合运用11已知a0，b0，则， ，中最小的是()A. B.C. D.解析因为a0，b0，所以， (当且仅当ab0时，等号成立)所以， ，中最小的是，故选D.答案D12已知a，b(0，)，且ab1，则下列各式恒成立的是()A.8 B.4C. D.解析当a，b(0，)时，ab2，又ab1，21，即.ab.4.故选项A不正确，选项C也不正确对于选项
10、D，a2b2(ab)22ab12ab，当a，b(0，)时，由ab可得a2b212ab.所以2，故选项D不正确对于选项B，a0，b0，ab1，(ab)114，当且仅当ab时，等号成立故选B.答案B13已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4C6 D8解析(xy)1a1a2(1)2.(xy)9对任意正实数x，y恒成立，(1)29.a4.答案B14给出下列结论：若a0，则a21a.若a0，b0，则4.若a0，b0，则(ab)4.若aR且a0，则a6.其中恒成立的是_解析因为(a21)a20，所以a21a，故恒成立因为a0，所以a2，因为b0，所以b2，所以当a0，b0时，4，故恒成立因为(ab)2，又因为a，b(0，)，所以2，所以(ab)4，故恒成立因为aR且a0，不符合基本不等式的条件，故a6是错误的答案15设abc，且恒成立，求m的取值范围解由abc，知ab0，bc0，ac0.因此，原不等式等价于m.要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可因为222 4，当且仅当，即2bac时，等号成立所以m4，即mm|m4
