1、20152016学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科）一 填空1. 命题“”的否定为 .2. 若复数，则 .3. 顶点在原点，焦点为的抛物线方程为 .4. 命题“若，则”的否命题为 .5. 已知函数，则 .6. 若双曲线的一条渐近线方程为，则 .7. “”是“”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分又不必要”中，选出适当的一种填空)8. 椭圆上一点到右焦点的距离为，则点到左准线的距离为 .9. 已知数列，的前项和为，计算得，照此规律， .10.已知函数，对于区间上的任意，的最大值是 .11.已知动抛物线的准线方程为，且经过点，则动抛物线焦点的轨迹方程是 .12.
2、已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是 .13.如图，已知椭圆：的左顶点为，点的坐标为.若椭圆上存在点(点异于点)，使得点关于点对称的点满足，则实数的最大值为 .14.若函数与函数的图像有三个不同交点，则实数的取值范围为 .二解答题15.设，.(1)若为纯虚数，求的值；(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求取值范围.16.设命题：方程表示双曲线；命题：方程表示焦点在轴的正半轴上的抛物线.(1)若命题为真，求实数的取值范围；(2)若命题是真命题，求实数的取值范围.17.已知数列满足，且.(1)求，；(2)由此猜想的通项公式，并用数学归纳法给出证明.18.已知，两地相距.按交通
3、法规规定：，两地之间的公路上车速要求不低于且不高于.假设汽车以速度行驶时，每小时耗油量为()升，汽油的价格是元升，司机每小时的工资是元.(1)若汽车从地以的速度匀速行驶到地，需耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从地到地的总费用最低？19.如图，椭圆的焦点为、，过作垂直于轴的直线交椭圆于点(点在轴上方)，连结并延长交椭圆于另一点.设().(1)若，求椭圆的方程；(2)求椭圆的离心率的范围；(3)当离心率最大时，过点作直线交椭圆于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求直线的斜率.20.已知.(1)当时，求函数的图像在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若函数在定义域内单调递减，
4、求的最大值.20152016学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科）参考答案1 2 3 4若,则5 1 61 7必要不充分 8 3 9 1011（剔除点）（不剔除的不扣分） 12（，） 13 14 15解：（1）为纯虚数，4分所以，解得 7分（2） 10分因为在复平面内对应的点位于第二象限，所以， 12分解得所以的取值范围是 14分16解：（1）因为为真，所以， 3分所以实数的取值范围为 6分(2)当是真命题时，实数的取值范围是， 8分 当是真命题时， 解得或， 11分因为命题是真命题，所以是真命题且也是真命题，所以，所以实数的取值范围是 14分17解 ：(1) 由，得，2分因为，所以求得，
5、 5分(2)猜想，并用数学归纳法证明如下： 7分由（1）知，当时，猜想成立 9分假设当（）时猜想成立，即，那么当时，有 这就是说，当时，猜想也成立 14分 综合和可知，对任何，猜想成立 15分18解：（1）当时，总耗油量为： 5分 答：当汽车从地以的速度匀速行驶到地，共耗油升 6分（2）设总费用为元，则，10分则，由得， 12分当时，当时，所以当时，取得极小值，且是最小值 14分答：当汽车以的速度匀速行驶时，从地到地的总费用最低 15分19解：（1），所以.又因为，所以.所以.所以椭圆方程为. 3分（2）由题意，点的坐标为， 4分又，设，因为，所以，所以所以 6分代入椭圆方程，得，即，即，解得
6、8分因为，所以，即椭圆的离心率的范围为10分（3）解法一： 由（2）知，椭圆的离心率的最大值为，即所以，因为，所以 13分所以直线的方程为，与椭圆方程联立，解得或所以16分解法二：由（2）知，椭圆的离心率的最大值为，即所以，因为，所以13分因为的坐标为，所以直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得：因为方程有一根为，所以另一个根，所以由，解得 16分20解：（1），则， 1分则，又，所以函数的图象在处的切线方程为即 3分（2），定义域为， 4分则，当时，显然恒成立，此时在单调增； 6分当时，（*），当时，恒成立，此时在单调增； 7分当时，方程（*）有两个不等的实数根所以在上单调增，在上单调减，在上单调增，综上，当时，在单调增；当时，在上单调增，在上单调减，在上单调增 9分（3）,定义域为，则.因为在定义域内单调减，所以在恒成立，即在恒成立，即 11分令,则，记，则，所以在单调增，且，所以存在唯一的，有，13分此时，当时，当时，所以，当时，取得极小值，且是最小值 所以，即， 15分又，所以， 因为，则的最大值为 16分
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