1、考点测试25解三角形的应用高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值5分、12分，中等难度考纲研读能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题一、基础小题1已知ABC的内角分别为A，B，C，AC，BC2，B60，则BC边上的高为()A. BC. D答案B解析由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcosB，即7AB244ABcos60，AB22AB30，解得AB3，BC边上的高为ABsin60.故选B.2如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)
2、 m B180(1) mC120(1) m D30(1) m答案C解析因为tan15tan(6045)2，所以BC60tan6060tan15120(1)(m)故选C.3若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km Ba kmC2a km Da km答案D解析如图所示，依题意知ACB1802040120，ACBCa km，在ABC中，由余弦定理得ABa(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.故选D.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC2ccosB
3、a，且B2C，则ABC的形状是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形答案B解析2bcosC2ccosBa，2sinBcosC2sinCcosBsinAsin(BC)，即sinBcosC3cosBsinC，tanB3tanC，又B2C，3tanC，解得tanC.C(0，)，C，B2C，A，故ABC为直角三角形5如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为()A50米 B50米C50米 D5
4、0米答案B解析设该扇形的半径为r米，如图，连接CO.由题意，得CD150(米)，OD100(米)，CDO60，在CDO中，CD2OD22CDODcos60OC2，即150210022150100r2，解得r50.所以该扇形的半径为50米故选B.6如图，平面四边形ABCD中，ABCADC90，BCCD2，点E在对角线AC上，AC4，AE1，则的值为()A17 B13C5 D1答案D解析由题意可知CE3，BCE60，EB，cosBEC，cosBEDcos2BEC2cos2BEC1.1.故选D.7.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的
5、顶端A看建筑物CD的张角为_答案45解析依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为45.8为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音比B地晚秒(已知声音传播速度为340米/秒)，在A地测得该仪器至高H处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度HC_米答案140
6、解析设BCx米，则ACx340(x40)米在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC，即x21002(40x)22100(40x)，解得x380，所以AC38040420(米)解法一：HCACtanHAC420140(米)解法二：因为HAC30，所以AHC903060.在ACH中，由正弦定理，得，即，所以HC140(米)二、高考小题9(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA()A. BC D答案C解析解法一：如图，过A作ADBC，垂足为D，由题意知ADBDBC，则CDBC，ABBC，ACBC，在ABC中，由余弦定理的推论可知，cosBAC.故选
7、C.解法二：过A作ADBC，垂足为D，由题意知BAD，ADBDBC，则CDBC，在RtADC中，ACBC，sinDAC，cosDAC，所以cosBACcoscosDACcossinDACsin.故选C.10(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_答案6解析由余弦定理得b2a2c22accosB.又b6，a2c，B，364c2c222c2，c2，a4，SABCacsinB426.11(2018北京高考)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_答案(2，)解析依题意有acsinB(a2c2b2)2accosB
8、，则tanB，0B，又A0，0A，则0tanA，故2.故的取值范围为(2，)12(2018江苏高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_答案9解析解法一：依题意画出图形，如图所示易知SABDSBCDSABC，即csin60asin60acsin120，acac，1，4ac(4ac)59，当且仅当，即a，c3时取“”解法二：如图，作DECB交AB于E，BD为ABC的平分线，DECB，.2，1222|，1，acac，1，4ac(4ac)59，当且仅当，即a，c3时取“”解法三：以B为原点，BD所在直线为x轴建立如
9、图所示的平面直角坐标系，则D(1，0)，ABc，BCa，A，C.A，D，C三点共线，c0，acac，1，4ac(4ac)59，当且仅当，即a，c3时取“”13(2017浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.答案解析ABAC4，BC2，cosABC.ABC为三角形的内角，sinABC，sinCBD，故SBDC22.BDBC2，ABC2BDC.又cosABC，2cos2BDC1，解得cos2BDC，又BDC为锐角，cosBDC.三、模拟小题14(2019广西桂林、贺州联考)设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a
10、，b，c.如果(abc)(bca)3bc，且a，那么ABC外接圆的半径为()A2 B4 C D1答案D解析(abc)(bca)(bc)2a23bc，b2c2a2bc，cosA，sinA，由正弦定理可得ABC外接圆的半径R1.15(2019济南模拟)已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)的200公里处，若coscos，则v()A60 B80 C100 D125答案C解析画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2200215022200150cos()，由正弦定理得，所以sinsin.又coscos，sin
11、2cos21，解得sin，故cos，sin，cos，故cos()0，代入解得v100.16(2019成都二诊)某小区打算将如图的一直角三角形ABC区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观已知AB20 m，AC10 m，则DEF面积(单位：m2)的最小值为()A25 B C D答案D解析因为ABC是直角三角形，由AB20 m，AC10 m，可得CB10，因为DEF是等边三角形，设CED，DEx，那么BFE30，CExcos，在BFE中，由正弦定理可得，可得x，其中tan.所以x.则DEF的面积Sx2sin60.故选D.17(2020贵阳摸底)如图，小明同学在山顶A处
12、观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_ m/s(精确到0.1，参考数据1.414，2.236)答案22.6解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，所以v22.6，所
13、以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.18(2019南昌一模)定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”已知锐角三角形的三个顶点A，B，C，在半径为1的圆上，且BAC，分别以ABC各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和ABC构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的最大值是_答案解析由题意，可得平面区域D的“直径”的最大值为图中线段EH(其中F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线)的长，等于ABC的周长的一半设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2sin，由余弦定理可得3b2c2bc(bc)23bc，所以bc2，当且仅当bc时等号成立所以ABC
14、的周长的最大值为3，所以平面区域D的“直径”的最大值是.一、高考大题1(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinbsinA.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sinAsinsinBsinA.因为sinA0，所以sinsinB.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，所以sin，所以30，所以B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由(1)知AC120，由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.结合AC120，得30C90，所以a2，从
15、而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.2(2019天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a，3csinB4asinC.(1)求cosB的值；(2)求sin的值解(1)在ABC中，由正弦定理，得bsinCcsinB.由3csinB4asinC，得3bsinC4asinC，即3b4a，所以ba.又因为bc2a，所以ca.由余弦定理可得cosB.(2)由(1)可得sinB，从而sin2B2sinBcosB，cos2Bcos2Bsin2B，故sinsin2Bcoscos2Bsin.3(2018天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsi
16、nAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB，又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，可得tanB.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因为ac，故cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.二、模拟大题4(2019四平一中模拟)在ABC中，3sinA2sinB，tanC2.(1)证明：A
17、BC为等腰三角形；(2)若ABC的面积为2，D为AC边上一点，且BD3CD，求线段CD的长解(1)证明：3sinA2sinB，3a2b，tanC2，cosC，设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得c2a2b22abcosCa2b22acosCb2，即bc，则ABC为等腰三角形(2)tanC2，sinC，则ABC的面积SabsinCa22，解得a2.设CDx，则BD3x，由余弦定理可得(3x)2x2224x，解得x(负根舍去)，从而线段CD的长为.5(2019陕西联考)某市规划一个平面示意图为如右图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考
18、虑宽度)，BE为赛道内的一条服务通道，BCDCDEBAE，DE4 km，BCCD km.(1)求服务通道BE的长度；(2)当AEB时，求赛道BA的长度解(1)如图，连接BD，在BCD中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcosBCD9，BD3.BCCD，BCD，CBDCDB，又CDE，BDE，在RtBDE中，BE5.故服务通道BE的长度为5 km.(2)在BAE中，BAE，BE5，AEB，由正弦定理得，即，得BA，故赛道BA的长度为 km.6(2019江苏淮安模拟)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东6
19、0方向10 km处(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短解(1)在ABO中，OA6，OB10，AOB120，根据余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos120621022610196，所以AB14.故集镇A，B间的距离为14 km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切设切点为C，连接OC(图略)，则OCMN.设OMx，ONy，MNc，在OMN中，由MNOCOMONsin120，得3cxysin120，即xy2c，由余弦定理，得c2x2y22xycos120x2y2xy3xy，所以c26c，解得c6，当且仅当xy6时，c取得最小值6.所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 km.