1、7.3 对称问题知识梳理1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P（2ax0，2by0）.2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P（x，y），则有可求出x、y.k=1，=k+b，特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P（2ax0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P
2、（x0，2by0）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2ax，2by）=0.（2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P（y，x），则由（2）知，P与P的坐标满足从中解出x0、y0，k=1，=k+b， 代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+
3、b的对称曲线方程.4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，y）；（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（x，y）；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（x，y）；（4）点（x，y）关于直线xy=0的对称点为（y，x）；（5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（y，x）.点击双基1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为A.（a，b） B.（b，a）C.（a，b） D.（b，a）解析：N（a，b），P（a，b），则Q（b，a）答案：B2.（2004年浙江，理4）曲线y2=4
4、x关于直线x=2对称的曲线方程是A.y2=84x B.y2=4x8C.y2=164x D.y2=4x16解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4x，y）.因为Q（4x，y）在曲线y2=4x上，所以y2=4（4x），即y2=164x.答案：C3.已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是A.= B.p=5 C.m=n且p=5 D.=且p=5解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（x）+my+5=0，即xmy5=0，与l2比较，m=n且p=5.反之亦验证成立
5、.答案：C4.点A（4，5）关于直线l的对称点为B（2，7），则l的方程为_.解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.答案：3xy+3=05.设直线x+4y5=0的倾斜角为，则它关于直线y3=0对称的直线的倾斜角是_.解析：数形结合.答案：典例剖析【例1】 求直线a：2x+y4=0关于直线l：3x+4y1=0对称的直线b的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时ABl，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180，一定与b重合.
6、使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.解得a与l的交点E（3，2），E点也在b上.解：由 2x+y4=0，3x+4y1=0， 方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为2，直线l的斜率为.则=.解得k=.代入点斜式得直线b的方程为y（2）=（x3），即2x+11y+16=0.方法二：在直线a：2x+y4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），由3+41=0，=，解得B（，）.由两点式得直线b的方程为=，即2x+11y+16=
7、0.方法三：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y1=0的对称点Q（x0，y0），则有3+41=0，=.解得x0=，y0=.Q（x0，y0）在直线a：2x+y4=0上，则2+4=0，化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.方法四：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，42x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y1=0对称，则有=，=.消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y4=0（舍）.评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法三与方法四是利用直
8、线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.【例2】 光线从点A（3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（2，6），求射入y轴后的反射线的方程.剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.解：A（3，4）关于x轴的对称点A1（3，4）在经x轴反射的光线上，同样A1（3，4）关于y轴的对称点A2（3，4）在经过射入y轴的反射线上，k=2.故所求直线方程为y6=2（x+2），即2x+y2=0.评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.【例3
9、】 已知点M（3，5），在直线l：x2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小.剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的MPQ的周长最小.解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（3，5）.据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y7=0.得交点P（，）.令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）.解方程组x+2y7=0，x2y+2=0，故点P（，）、Q（0，）即为所求.评
10、述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.深化拓展 恰当地利用平面几何的知识解题.不妨再试试这个小题：已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为_，P点的坐标为_.答案： （，0）闯关训练夯实基础1.（2004年全国卷，4）已知圆C与圆（x1）2+y2=1关于直线y=x对称，则圆C的方程为A.（x+1）2+y2=1 B.x2+y2=1C.x2+（y+1）2=1 D.x2+（y1）2=1解析：由M（x，y）关于y=x的对称点为（y，x），即得x2+（y+1）2=1.答案：C2.与直线x+2y1=0关于点（1，1）对称的直线方程为A.2
11、xy5=0 B.x+2y3=0C.x+2y+3=0 D.2xy1=0解析：将x+2y1=0中的x、y分别代以2x，2y，得（2x）+2（2y）1=0，即x+2y+3=0.故选C.答案：C3.两直线y=x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是_.解析：l上的点为到两直线y=x与x=1距离相等的点的集合，即=x1，化简得x+y2=0或3xy2=0.答案：x+y2=0或3xy2=04.直线2xy4=0上有一点P，它与两定点A（4，1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是_.解析：易知A（4，1）、B（3，4）在直线l：2xy4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共
12、线时距离之差最大.答案：（5，6）5.已知ABC的一个顶点A（1，4），B、C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.解：设点A（1，4）关于直线y+1=0的对称点为A（x1，y1），则x1=1，y1=2（1）（4）=2，即A（1，2）.在直线BC上，再设点A（1，4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A（x2，y2），则有（1）=1，+1=0.解得 x2=3，y2=0，即A（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y3=0为边BC所在直线的方程.培养能力6.求函数y=+的最小值.解：因为y=+，所以函数y是x轴上的点P（x，
13、0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和.y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A （0，3），则|PA|+|PB|的最小值等于|AB|，即=4.所以ymin=4.7.若抛物线y=2x2上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称且x1x2=，求m的值.解：设直线AB的方程为y=x+b，代入y=2x2得2x2+xb=0，x1+x2=，x1x2=.b=1，即AB的方程为y=x+1.设AB的中点为M（x0，y0），则x0=，代入y0=x0+1，得y0=.又M（，）在y=x+m上，=+m.m=.8.（文）直线y=2x是ABC中C
14、的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A（4，2）、B（3，1），求点C的坐标，并判断ABC的形状.解：由题意，点A关于直线y=2x的对称点A在BC所在直线上，设A点坐标为（x1，y1），则x1、y1满足=，即x1=2y1. =2，即2x1y110=0. 解两式组成的方程组，得x1=4，y1=2.BC所在直线方程为=，即3x+y10=0.得解方程组 3x+y10=0， x=2，y=2x， y=4.所求C点坐标为（2，4）.由题意|AB|2=50，|AC|2=40，|BC|2=10，ABC为直角三角形.（理）若抛物线y=ax21上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求实数a的取值范围.解：设A（
15、x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上关于直线x+y=0对称的两点，则AB的方程可设为y=x+b.联立方程组y=x+b，y=ax21，得ax2xb1=0，可知=1+4a（b+1）0. 又=，=.线段AB的中点M（，）.M点在直线AB上，=+b，即b=. 将代入得1+4a（1）0.a.探究创新9.（2003年新课程，理10）已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1x42，求tan的取值范围.解：
16、设P1B=x，P1P0B=，则CP1=1x，P1P2C、P3P2D、AP4P3均为，tan=x.又tan=x，CP2=1.而tan=x，DP3=x（3）=3x1.又tan=x，AP4=3.依题设1AP42，即132，4.tan.思悟小结1.对称问题分为点对称及轴对称.点对称仅用中点坐标公式即可解决，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决.特别是关于原点对称、坐标轴对称、直线xy=0对称都要熟练掌握.2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法.3.本章的内容是解析几何最基本的概念、公式和法则，这些内容的综合应用是高考中经常考查的内容.教师下载中心教学点睛
17、1.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.2.许多问题都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等.3.对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可以用求轨迹的思想代入法来求解.拓展题例【例1】 已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y2=0，在直线l上求一点P.（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|PB|最大.解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.则有 +22=0，（）=1.解得 x1=，y1=.由
18、两点式求得直线A1B的方程为y=（x4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，）.由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.（2）由两点式求得直线AB的方程为y1=（x4），即x+y5=0.直线AB与l的交点可求得为P（8，3），它使|PA|PB|最大.【例2】 直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围.解法一：设直线l的方程为y1=k（x1），弦的两个端点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程并作差得（y1+y2）（y1y2）=x1x2.kAB=，y1+y2=k.注意到AB的中点在直线l：y1=k（x1）上，x1+x2=1.y12+y22=x1+x2=1.由y12+y22，得102k002k0.
