1、考点测试55曲线与方程高考概览高考在本考点的考查涉及各种题型，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程一、基础小题1方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一条射线答案D解析原方程可化为或10，即2x3y10(x3)或x4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线2过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212x By212xCx212y Dx212y答案D解析由抛物线的定义知，过点F(0,3
2、)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，故其方程为x212y.故选D.3已知A(1,0)，B(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为点N，若2，当0时，动点M的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案C解析设M(x，y)，则N(x,0)，所以2y2，(x1,0)(1x,0)(1x2)，所以y2(1x2)，即x2y2，变形为x21.又因为6|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆，并且2a8，a4；2c6，c3；b21697，因此M点的轨迹方程为1.二、高考小题9(2019北京高考) 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y就
3、是其中之一(如图)给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是()A B C D答案C解析由x2y21|x|y，当x0时，y1；当y0时，x1；当y1时，x0，1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)，D(1,1)，E(1,0)，F(1,1)，所以正确由基本不等式，当y0时，x2y21|x|y1|xy|1，所以x2y22，所以，故正确如图，由知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故错
4、误故选C.10(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B1C.1 D1答案B解析由yx可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.11(2015广东高考)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.1 B1C.1 D1答案C解析由已知得解得故b3，从而所求的双曲线方程为1.故选C.12(2015安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 By21Cx21 Dy21答案C解析由于焦点在y
5、轴上，故排除A，B.由于渐近线方程为y2x，故排除D.故选C.13(2015天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B1C.1 D1答案D解析由题意知点(2，)在渐近线yx上，所以，又因为抛物线的准线为x，所以c，故a2b27，所以a2，b.故双曲线的方程为1.选D.三、模拟小题14(2019聊城模拟)已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则点Q的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50答案D解析由题意，知M为P
6、Q的中点，设Q(x，y)，则点P坐标为(2x,4y)，代入2xy30，得2xy50.故选D.15(2019福建漳州八校联考)已知圆M：(x)2y236，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足2，0，则点G的轨迹方程是()A.1 B1C.1 D1答案A解析由2，0，知所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，|GN|GP|，|GM|GN|MP|62，点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a6,2c2，b24，点G的轨迹方程为1，故选A.16(2019银川模拟)动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是_答案(2x3)24y21解
7、析设A，B连线的中点M坐标为(x，y)，则动点A的坐标为(2x3,2y)，因为点A在圆x2y21上，所以(2x3)24y21.故所求轨迹方程是(2x3)24y21.17(2019武威模拟)设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为_答案y24x解析设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由2，得即因为，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以x0y0，即xy20，所以点N的轨迹方程为y24x.一、高考大题1(2019全国卷)已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的
8、轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值解(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x.设u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.(*)设G(xG，yG)，则u和xG是方程(*)的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQP
9、G，即PQG是直角三角形由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为S在2，)上单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.2(2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x
10、2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.3(2016全国卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形
11、MPNQ面积的取值范围解(1)证明：因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC.所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，A到m的距离为，所以|PQ|24.故四边形MPNQ的面积S|M
12、N|PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)二、模拟大题4(2019张家口一模)以P为圆心的动圆经过点F(1,0)，并且与直线x1相切(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若A，B，C，D是曲线C上的四个点，ABCD，并且AB，CD相交于点F，直线AB的倾斜角为锐角若四边形ACBD的面积为36，求直线AB的方程解(1)设圆P与直线x1相切于点E，则|PE|PF|，即点P到F的距离与点P到直线x1的距离相等，点P的轨迹为抛物线，F是焦
13、点，x1是准线点P的轨迹C的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yk(x1)，k0.由得k2x2(2k24)xk20，x1x2.|AB|x1x224.同理，|CD|44k2.四边形ACBD的面积S|AB|CD|(44k2)8(1k2)由8(1k2)36，得k22或k2，k或k.直线AB的方程为y(x1)或y(x1)5(2020昆明调研)已知直线l1：axy10，直线l2：x5ay5a0，直线l1与l2的交点为M，点M的轨迹为曲线C.(1)当a变化时，求曲线C的方程；(2)已知点D(2,0)，过点E(2,0)的直线l与C交于A，B两点，求ABD面积的最大值
14、解(1)由消去a，得曲线C的方程为y21(y1，即点(0，1)不在曲线C上)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由得(m25)y24my10，则y1y2，y1y2，ABD的面积S2|y2y1|22，设t，t1，)，则S，当t(t1，)，即t2，m时，ABD的面积取得最大值，为.6(2019武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn2.(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PNx轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点
15、，若(1)，求证：.解(1)依题意知，直线A1N1的方程为y(x)，直线A2N2的方程为y(x)，设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，由，得y2(x26)，又mn2，整理得1.故点M的轨迹C的方程为1.(2)证明：设过点R的直线l：xty3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，y1)，由消去x，得(t23)y26ty30，所以y1y2，y1y2.由，得(x13，y1)(x23，y2)，故x13(x23)，y1y2，由(1)得F(2,0)，要证，即证(2x1，y1)(x22，y2)，只需证2x1(x22)，只需，即证2x1x25(x1x2)120，又x1x2(ty13)(ty23)t2y1y23t(y1y2)9，x1x2ty13ty23t(y1y2)6，所以2t2y1y26t(y1y2)185t(y1y2)30120，即2t2y1y2t(y1y2)0，而2t2y1y2t(y1y2)2t2t0成立，即成立