1、6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系(易混点)1.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升数学抽象素养.2.借助向量的线性运算，培养数学运算素养.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2.问题：这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？1平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂
2、直的向量，叫做把向量作正交分解(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取i，j作为基底对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量a的坐标表示(3)向量坐标与点的坐标之间的联系在平面直角坐标系中，以原点O为起点作a，设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标2平面向量加、减运算的坐标表示已知a(x1，y1)
3、，b(x2，y2)，则有：加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)重要结论已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1).因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标.拓展：(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即abx1x2且y1y2，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)相等向量的坐标相同()(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标()(3)一个坐标
4、对应于唯一的一个向量()(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应()答案(1)(2)(3)(4)2已知a(3,5)，b(3,2)，则ab()A(8，1)B(0,7)C(7,0)D(1,8)Bab(3,5)(3,2)(33,52)(0,7)3已知点A(1，2)，点B(4,0)，则向量_.答案(3,2)4如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|2，45，则向量a的坐标为_(，)由题意知a2cos 45i2sin 45jij(，)平面向量的坐标表示【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB
5、3，AOx45，OAB105，a，b.四边形OABC为平行四边形(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标解(1)作AMx轴于点M，则OMOAcos 4542，AMOAsin 4542，A(2，2)，故a(2，2)AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，C，即b.(2).(3)(2，2).点B的坐标为.求点、向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标跟进训练1如图，取与x轴
6、、y轴同向的两个单位向量i，j，i，j作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标解由题图可知，6i2j，2i4j，4i2j，它们的坐标表示为(6,2)，(2,4)，(4,2).平面向量的坐标运算【例2】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab的坐标(1)A法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3,2)(7，4)故选A法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故选A(2)解ab(1,2)(3，5)(
7、2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 跟进训练2若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求，的坐标解(2,10)，(8,4)，(10,14)，(2,10)(8,4)(10,14)，(8,4)(10,14)(2，10).平面向量坐标运算的应用【例3】已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且，则顶点D的坐标为()ABC(4
8、,5)D(1,3)C设点D(m，n)，则由题意得(4,3)(m，n2)，解得 即点D(4,5)，故选C在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解跟进训练3已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为_(1,2)设C的坐标为(x，y)，则由已知得，所以(x，y)(1,2)一、知识必备1在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系2向量的坐标和其终点的坐标不一定相同当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标相同二、方法必备1求平面向量坐标的两种方法(1)平移法：把向量
9、的起点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标；(2)作差法：用表示向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标2在进行向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误1已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba等于()A(2,1)B(2，1)C(2,0)D(4,3)答案B2设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若4i2j，3i4j，则的坐标是()A(1，2)B(7,6)C(5,0)D(11,8)B因为(4,2)，(3,4)，所以(4,2)(3,4)(7,6)3已知A(2，3)，(3，2)，则点B的坐标为()A(5,5)B(5，5)C(1,1)D(1,1)B(2，3)(3，2)(5，5)4已知A(1，2)，B(2,3)，C(2,0)，D(x，y)，且2，则xy_.因为(2,0)(1，2)(1,2)，(x，y)(2,3)(x2，y3)，又2，即(2x4,2y6)(1,2)，所以解得所以xy.5已知点B(1,0)是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b(3,4)，c(1,1)与a的关系为a3b2c，则向量a的起点坐标为_(8，10)a3b2c3(3,4)2(1,1)(7,10)，设a的起点为A(x，y)，则a(1x，y)，所以所以所以A(8，10)即a的起点坐标为(8，10)