1、第2课时 不等式的证明1.不等式证明的方法（1）比较法：作差比较法：知道abab0，ababb只要证明_即可，这种方法称为作差比较法.ab0作商比较法：由 ab0ab1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时，要证明ab，只要证明ab1 即可，这种方法称为作商比较法.（2）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法.（3）分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式（已知条件、定理等），从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“执果索因”
2、的方法.（4）反证法和放缩法：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法.在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.（5）数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：证明当nn0时命题成立；假设当nk（kN*，且kn0）时命题成立，证明nk1时命题也成立
3、.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.2.几个常用基本不等式（1）柯西不等式：柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则（a2b2）（c2d2）_（当且仅当adbc时，等号成立）.柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.（acbd）2柯西不等式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则（x1x2）2（y1y2）2（x2x3）2（y2y3）2（x1x3）2（y1y3）2.柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn 是实数，则（a
4、21a22a2n）（b21b22b2n）（a1b1a2b2anbn）2，当且仅当 bi0（i1，2，n）或存在一个数 k，使得 aikbi（i1，2，n）时，等号成立.（2）算术几何平均不等式若 a1，a2，an 为正数，则a1a2annn a1a2an，当且仅当 a1a2an 时，等号成立.1.若 ab1，xa1a，yb1b，则 x 与 y 的大小关系是（）A.xy B.xyC.xyD.xy【解 析】x y a 1a b1b a b baab（ab）（ab1）ab.由 ab1 得 ab1，ab0，所以（ab）（ab1）ab0，即 xy0，所以 xy.【答案】A 2.下列四个不等式：logx1
5、0lg x2（x1）；|ab|a|b|；baab 2（ab0）；|x1|x2|1，其中恒成立的个数是（）A.1 B.2C.3 D.4【解析】logx10lg x 1lg xlg x2（x1），正确；ab0 时，|ab|a|b|，不正确；因为 ab0，ba与ab同号，所以baab ba ab 2，正确；由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1 恒成立，也正确.综上正确.【答案】C【解析】由柯西不等式得（manb）2（m2n2）（a2b2），即 m2n25，m2n2 5，所求最小值为 5.【答案】5题型一 用综合法与分析法证明不等式【例 1】（1）已知 x，y 均为正数，且 xy，求证：2x
6、1x22xyy22y3；（2）设 a，b，c0 且 abbcca1，求证：abc 3.【证明】（1）因为 x0，y0，xy0，2x1x22xyy22y 2（xy）1（xy）2（xy）（xy）1（xy）2 3 3（xy）21（xy）23，所以 2x1x22xyy22y3.（2）因为 a，b，c0，所以要证 abc 3，只需证明（abc）23.即证：a2b2c22（abbcca）3，而 abbcca1，故需证明：a2b2c22（abbcca）3（abbcca）.即证：a2b2c2abbcca.而 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2（当且仅当 abc 时等号成立）成立.所以原不等
7、式成立.【思维升华】用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.跟踪训练 1 设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：（1）abbcac13；（2）a2b b2c c2a1.【证明】（1）由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得 a2b2c2abbcca.由题设得（abc）21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.
8、所以 3（abbcca）1，即 abbcca13.（2）因为a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，故a2b b2c c2a（abc）2（abc），即a2b b2c c2aabc.所以a2b b2c c2a1.题型二 放缩法证明不等式【例 2】若 a，bR，求证：|ab|1|ab|a|1|a|b|1|b|.【证明】当|ab|0 时，不等式显然成立.当|ab|0 时，由 0|ab|a|b|1|ab|1|a|b|，所以|ab|1|ab|11|ab|1111|a|b|a|b|1|a|b|a|1|a|b|b|1|a|b|a|1|a|b|1|b|.【思维升华】（1）在不等式的证明中，“放”和“缩”
9、是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：变换分式的分子和分母，如1k21k（k1），1k2k k1.上面不等式中 kN*，k1；利用函数的单调性；真分数性质“若 0a0，则abambm”.（2）在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.跟踪训练 2 设 n 是正整数，求证：12 1n1 1n2 12nn（k1，2，n），得 12n 1nk1n.当 k1 时，12n 1n11n；当 k2 时，12n 1n21n；当 kn 时，12n 1nn1n，12 n2n 1n1 1n2 12nnn1.原不等式成立.题型三 柯西不等式的应用【例 3】已知 x，y，z 均为实数.（1）若 xyz1，求证
10、：3x1 3y2 3z33 3；（2）若 x2y3z6，求 x2y2z2 的最小值.【解析】（1）证明 因为（3x13y23z3）2（121212）（3x13y23z3）27.所以 3x1 3y2 3z33 3.当且仅当 x23，y13，z0 时取等号.（2）因为 6x2y3z x2y2z2 149，所以 x2y2z2187，当且仅当 xy2z3即 x37，y67，z97时，x2y2z2 有最小值187.【思维升华】（1）使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.（2）利用柯西不等式求最值的一般结构为：（a21a22a2n）1a21 1a22 1a2n（111）2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.跟踪训练 3 已知大于 1 的正数 x，y，z 满足 xyz3 3.求证：x2x2y3zy2y2z3xz2z2x3y 32.【证明】由柯西不等式及题意得，x2x2y3zy2y2z3xz2z2x3y （x2y3z）（y2z3x）（z2x3y）（xyz）227.又（x2y3z）（y2z3x）（z2x3y）6（xyz）18 3，x2x2y3zy2y2z3xz2z2x3y 2718 3 32，当且仅当 xyz 3时，等号成立.