1、第六节正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R.(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的
2、高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若AB，则必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或135.()(4)在ABC中，.()解析(1)正确ABabsin Asin B.(2)错误由cos A0知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形(3)错误由ba知，BA.(4)正确利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知结论正确答案(1)(2)(3)(4)
3、2(教材改编)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定C由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cos C0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b()A. B. C2 D3D由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故选D.4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，a1，b，则B_. 【导学号：51062120】或由正弦定理，代入可求得sin B，故B或B.5在ABC中，A6
4、0，AC4，BC2，则ABC的面积等于_2由题意及余弦定理得cos A，解得c2，所以Sbcsin A42sin 602.利用正、余弦定理解三角形在ABC中，BAC，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长解设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.6分又由正弦定理得sin B，由题设知0B，所以cos B.10分在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.14分规律方法1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦
5、定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用变式训练1(1)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为()A30B45C60D120(2)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.(1)A(2)(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b
6、2c2a2ac，a2c2b2ac.又cos B，cos B，B30.(2)在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.判断三角形的形状(1)(2017浙江五校二联)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos Abcos B，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2017绍兴二模)设角A，B，C是ABC的三个内角，则“ABC”是“ABC是钝角三角形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(1)D(2)A(
7、1)因为acos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由ABC，ABC，可得C，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立故选A.规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练2设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos Bsi
8、n C，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形B法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.与三角形面积有关的问题已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积. 【导学号：51062121】解(1)由题设及正弦定理可得b22ac.2分又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.6分(2
9、)由(1)知b22ac.8分因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.12分所以ABC的面积为1.14分规律方法三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化变式训练3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Cs
10、in(AB)sin C，3分故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.6分(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.10分由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.14分思想与方法1在解三角形时，应熟练运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数2判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换3在ABC中，ABabsin Asin B.易错与防范1已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角可能有一解、两解、无解在ABC中，
11、已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解课时分层训练(二十)正弦定理和余弦定理A组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定B由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin
12、A1，即A.2在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是() 【导学号：51062122】A有一解B有两解C无解D有解但解的个数不确定C由正弦定理得，sin B1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在3在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1B2C3D4A由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)故选A.4(2017台州二次适应性测试)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2ab，则ABC的面积为()A.B. C.D.B依题意得cos C，C
13、60，因此ABC的面积等于absin C，故选B.5(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A()A.B. C.D.D过A作ADBC于D，设BCa，由已知得AD.B，ADBD，BDAD，DCa，ACa，在ABC中，由正弦定理得，sin BAC，故选D.二、填空题6(2017嘉兴模拟)在ABC中，a15，b10，A60，则cos B_.由正弦定理可得，所以sin B，再由ba，可得B为锐角，所以cos B.7(2017青岛模拟)如图361所示，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_图361sinBACsin(90BAD)c
14、osBAD，在ABD中，有BD2AB2AD2ABADcosBAD，BD21892333，BD.8已知ABC中，AB，BC1，sin Ccos C，则ABC的面积为_由sin Ccos C得tan C0，所以C.根据正弦定理可得，即2，所以sin A.因为ABBC，所以AC，所以A，所以B，即三角形为直角三角形，故SABC1.三、解答题9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，c5，cos B.(1)求b的值；(2)求sin C的值. 【导学号：51062123】解(1)因为b2a2c22accos B42522517，所以b.6分(2)因为cos B，所以sin B，10分
15、由正弦定理，得，所以sin C.14分10(2017云南二次统一检测)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m(sin B,5sin A5sin C)与n(5sin B6sin C，sin Csin A)垂直(1)求sin A的值；(2)若a2，求ABC的面积S的最大值解(1)m(sin B,5sin A5sin C)与n(5sin B6sin C，sin Csin A)垂直，mn5sin2B6sin Bsin C5sin2C5sin2A0，即sin2Bsin2Csin2A.4分根据正弦定理得b2c2a2，由余弦定理得cos A.A是ABC的内角，sin A.7分(2)由(1)知b2c
16、2a2，b2c2a22bca2.10分又a2，bc10.ABC的面积Sbcsin A4，ABC的面积S的最大值为4.14分B组能力提升(建议用时：15分钟)1ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知bc，a22b2(1sin A)，则A()A.B. C.D.Cbc，BC.又由ABC得B.由正弦定理及a22b2(1sin A)得sin2A2sin2B(1sin A)，即sin2A2sin2(1sin A)，即sin2A2cos2(1sin A)，即4sin2cos22cos2(1sin A)，整理得cos20，即cos2(cos Asin A)0.0A，0，cos 0，cos Asin
17、A又0A，A.2(2017浙江高考冲刺卷(一)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差数列，则角B_；若b，ac3，则ABC的面积为_. 【导学号：51062124】依条件有acos Cccos A2bcos B，由正弦定理得sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos B，即sin(AC)2sin Bcos B，则有sin B2sin Bcos B，由sin B0，得cos B，又B(0，)，故B.由余弦定理得a2c2ac3，即(ac)23ac3，所以ac2，则SABCacsin B.3在ABC中，cos C是方程2x23x20的一个根(1)求角C；(2)当ab10时，求ABC周长的最小值解(1)因为2x23x20，所以x12，x2.2分又因为cos C是方程2x23x20的一个根，所以cos C，所以C.6分(2)由余弦定理可得：c2a2b22ab(ab)2ab，10分则c2100a(10a)(a5)275，当a5时，c最小且c5，此时abc105，所以ABC周长的最小值为105.14分