1、第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.2 抛物线的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110上，则此抛物线的方程是()Ay211x By211xCy222x Dy222x解析：令y0得x，所以 抛物线的焦点为F，即，所以 p11，所以 抛物线的方程是y222x.答案：C2方程(3m)y2(m1)x表示抛物线，其中m不能为()A1 B3C1或3 D1且3解析：由条件知解得m3且m1.答案：D3已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|F
2、P1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|FP3|FP2|2解析：由焦半径公式，知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3.因为2x2x1x3，所以2，即2|FP2|FP1|FP3|.答案：C4过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值为()A4 B4 Cp2 Dp2解析：法一(特例法)：当直线垂直于x轴时，A，B，则4.法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立，可得y1y2p2，则4.答案：B5过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准
3、线上的射影为A1、B1，则A1FB1等于()A90 B45 C60 D120解析：如图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1，又AA1FA1FO，所以 AFA1A1FO，同理BFB1B1FO，于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.答案：A二、填空题6已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_解析：设抛物线C的方程为y2ax(a0)，由可得或不妨令A(0，0)，B(a，a)，而点P(2，2)是AB的中点，从而有a4，故所求抛物线C的方程为y24x.答案
4、：y24x7抛物线y24x与直线2xy40交于两点A与B，F为抛物线的焦点，则|FA|FB|_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|x1x22.又x25x40，所以 x1x25，|FA|FB|x1x227.答案：78已知A(0，4)，B(3，2)，抛物线y2x上的点到直线AB的最短距离为_解析：由已知，得直线AB的方程为2xy40，设抛物线y2x上的任意一点P的坐标为(t，t2)，则d.答案：三、解答题9已知过抛物线y24x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程解：因为过焦点的弦长为36，所以 弦所在的直线的斜率存在且不为零故可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(
5、x1，y1)、B(x2，y2)两点因为抛物线y24x的焦点为F(1，0)所以 直线的方程为yk(x1)由整理得k2x2(2k24)xk20(k0)所以 x1x2.所以 |AB|AF|BF|x1x222.又|AB|36，所以 236，所以 k.所以 所求直线方程为y(x1)或y(x1)10正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解：如图所示：设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又因为|OA|OB|，所以 xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x
6、22p)0.因为x10，x20，2p0，所以 x1x2，由此可得|y1|y2|，即点A，B关于x轴对称由此得AOx30，所以 y1x1，与y2px1联立，解得y12p.所以 |AB|2y14p.B级能力提升1在同一平面直线坐标系中，方程a2x2b2y21与axby20(ab0)的曲线大致为()解析：将方程a2x2b2y21与axby20转化为1与y2x.因为ab0，所以0，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左答案：D2设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB等于_解析：由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称设A，B
7、，a0，SAOB2a16，解得a4.所以 AOB为等腰直角三角形，AOB90.答案：903已知抛物线y24x，过其焦点作弦AB，若弦长不超过8，且弦所在直线与椭圆3x22y22相交，试确定AB所在直线的斜率k的取值范围解：由题意，得焦点的坐标为F(1，0)因为过焦点的弦所在直线与椭圆3x22y22相交，所以此直线的斜率一定存在设过点F的直线方程为yk(x1)(k0)联立方程消去y，得k2x2(2k24)xk20.设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.因为|AB| 8，所以k21，即k1或k1.联立方程消去y，得(32k2)x24k2x2k220.因为直线与椭圆相交，所以8k2240，解得k.综上所述，1k或k1.