1、高频考点分类突破 基础知识自主梳理 目 录 ONTENTSC学科素养提升 4 课时作业 第3讲 机械能守恒定律及其应用第五章 机械能及其守恒定律 一、重力做功与重力势能1重力做功的特点(1)重力做功与无关，只与始、末位置的有关(2)重力做功不引起物体的变化2重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就；重力对物体做负功，重力势能就路径高度差机械能减小增大(2)定量关系：重力对物体做的功物体重力势能的量即 WG(Ep2Ep1)Ep1Ep2.(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取3弹性势能(1)概念：物体由于发生而具有的能(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量
2、及劲度系数有关，弹簧的形变量，劲度系数，弹簧的弹性势能越大(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W.等于减小Ep无关弹性形变越大越大Ep二、机械能守恒定律及其应用1机械能：和统称为机械能，其中势能包括和2机械能守恒定律(1)内容：在只有做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能(2)表达式：mgh112mv12.3守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功动能势能弹性势能重力势能重力或弹力保持不变mgh212mv22判一判 记一记易错易混 判一判(1)克服重力做功，物体的重力势能一定增加()(2)发生弹性形变的物体都具有弹性势能()(3)弹簧弹
3、力做正功时，弹性势能增加()(4)物体速度增大时，其机械能可能在减小()(5)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒()(6)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化()(7)物体只发生动能和重力势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒()(8)做曲线运动的物体机械能可能守恒()规律结论 记一记(1)机械能守恒的条件不是合外力做的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”(2)机械能守恒定律的三种表达形式：E1E2，EkEp，EA 增EB 减(3)利用守恒观点列机械能守恒的方程时一定要选取零势能面，而且系统内不同的物体必须选取同一零势能面考点一 对机械能守恒的理解
4、及判断 自主学习型1对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少2机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械
5、能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒1机械能守恒的理解(2019河南洛阳模拟)关于机械能守恒，下列说法正确的是()A做自由落体运动的物体，机械能一定守恒B人乘电梯加速上升的过程，机械能守恒C物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒D合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒做自由落体运动的物体只有重力做功，机械能守恒，故 A 正确；人乘电梯加速上升的过程，动能与重力势能都增加，机械能增加，机械能不守恒，故 B 错误；只有重力做功，则机械能守恒，除重力外物体还受其他力，物体机械能也可能守恒，如沿光滑斜面下滑的物体除受重力外还受支持力，但物体机械能守恒，故 C 错误；合外力对物体做功为零，机
6、械能不一定守恒，如在竖直方向匀速下落的物体合外力做功为零，但机械能减少，机械能不守恒，故 D 错误A2机械能守恒的判断(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()A图甲中，物体 A 将弹簧压缩的过程中，物体 A 机械能守恒B图乙中，物体 A 固定，物体 B 沿斜面匀速下滑，物体 B 的机械能守恒C图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时，物体 A 加速下落，物体 B 加速上升过程中，物体 A、B 组成的系统机械能守恒D图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒题图甲中重力和弹力做功，物体 A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体 A 机械能不守恒，选项 A 错误；题图乙中物
7、体 B 匀速下滑，动能不变，重力势能减小，物体 B 的机械能不守恒，选项 B 错误；题图丙中绳子张力对物体 A 做负功，对物体 B 做正功，代数和为零，物体 A、B 组成的系统机械能守恒，选项 C 正确；题图丁中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，选项 D 正确CD易错警示关于机械能守恒条件的 3 点提醒1分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统2系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒3对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒考点二 单个物体机械能守恒的应用 师生互动型1机械能守恒的三种表达式对比守恒角度转化角度
8、转移角度表达式E1E2EkEpEA 增EB 减物理意义系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能若系统由 A、B 两部分组成，则 A 部分物体机械能的增加量与 B 部分物体机械能的减少量相等守恒角度转化角度转移角度注意事项应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题2.求解单个物体机械能守恒问题的基本思路(1)选取研究对象物体(2)根据研究对象
9、所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1Ep1Ek2Ep2、EkEp)进行求解典例1 如图，在竖直平面内有由14圆弧 AB 和12圆弧 BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点 B 平滑连接AB 弧的半径为 R，BC 弧的半径为R2.一小球在 A 点正上方与 A 相距R4处由静止开始自由下落，经 A 点沿圆弧轨道运动(1)求小球在 B、A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到 C 点思路点拨 解此题要把握以下两点：(1)已知小球在距 A 点R4处由静止下落
10、，结合机械能守恒求小球在 A、B 两点的动能之比(2)小球恰能通过 C 点时应满足 mgmvC2R.解析(1)设小球的质量为 m，小球在 A 点的动能为 EkA，由机械能守恒定律得EkAmgR4设小球在 B 点的动能为 EkB，同理有 EkBmg5R4 由式得EkBEkA5(2)若小球能沿轨道运动到 C 点，小球在 C 点所受轨道的正压力 FN 应满足 FN0设小球在 C 点的速度大小为 vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有 FNmgmvC2R2由式得，vC应满足 mgm2vC2R 由机械能守恒有 mgR412mvC2由式可知，小球恰好可以沿轨道运动到 C 点答案 见解析1不含弹簧的单个物体
11、的机械能问题 如图所示，光滑的小圆弧轨道半径为 r，光滑的大圆弧轨道半径为 4r，小球质量为 m(可视为质点)，小圆弧与大圆弧的圆心 O1、O2 在同一竖线上，两圆弧的最低点重合，两圆弧轨道固定在同一竖直平面内小球从大圆弧轨道上与 O2等高处由静止释放，小球通过小圆弧轨道最高点时对轨道的压力的大小为()A2mg B3mgC4mgD5mg小球运动过程中，机械能守恒，小球通过小圆弧轨道最高点时 mg4rmg2r12mv2，此时 mgFNmv2r，联立可得 FN3mg，所以对轨道的压力的大小为 3mg，B 正确B2含有弹簧的单个物体的机械能问题(2019河北衡水高三调研)如图所示，固定的竖直光滑长杆
12、上套有质量为 m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为 L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了 3mgLC圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变在圆环下滑到最大距离的过程中，弹簧弹力对圆环做功，圆环的机械能不守恒，选项 A错误；利用几何关系可知圆环下落的距离为 h 2L2L2 3L，此过程圆环的重力势能的变化量为 Epmgh 3mgL，根据功能关系，弹簧弹性势能的增加量等于圆环重
13、力势能的减少量，即 Ep 3mgL，选项 B 正确；圆环下落到最大距离时速度为零，所受合力不为零，选项 C 错误；把圆环和弹簧看成一个系统，系统的机械能守恒，即圆环的重力势能、弹簧的弹性势能与圆环的动能之和保持不变，选项 D 错误B考点三 多个物体机械能守恒的应用 师生互动型多个物体机械能守恒问题根据物体间的关联方式，常见“轻绳连接”和“轻杆连接”两种类型类型一：“轻绳连接”的多物体系统1常见情景2三点提醒(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机
14、械能则可能守恒典例2(多选)(2019福建泉州高三质检)如图，跨过光滑轻质小定滑轮的轻绳一端系一质量为 m 的小球，另一端系一质量为 2m 的重物，小球套在竖直固定的光滑直杆上，滑轮与杆的距离为 d.现将小球从与滑轮等高的 A 处由静止释放，下滑过程中经过 B点，A、B 两点间距离也为 d，重力加速度为 g，则小球()A刚释放时的加速度为 gB过 B 处后还能继续下滑d3C在 B 处的速度大小为 2 21gdD减少的机械能等于重物增加的机械能解析 小球刚开始释放时，竖直方向只受重力，根据牛顿第二定律可知其加速度为 g，故 A 正确；设小球下降的最大高度为 h，根据系统机械能守恒，有 mgh2m
15、g(d2h2d)0，解得 h43d，故过 B 处后还能继续下滑d3，故 B 正确；由于绳子不可伸长，故球与重物在沿着绳子方向的分速度相等，在 B 处，绳子与竖直方向的夹角为 45，故 v 球cos 45v 重，即v球v重 2，小球到达 B 处时，重物上升的高度为绳子缩短的长度，即 h(21)d，小球和重物系统机械能守恒，小球减少的机械能等于重物增加的机械能，有 mgd12mv球22mgh122mv 重2，解得 v 球 32 2gd，故 C 错误，D 正确答案 ABD类型二：“轻杆连接”的多物体系统1常见情景2三大特点(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等(2)杆对物体的作用力并不
16、总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒典例3(2019湖南十校联考)如图所示，半径为 R 的光滑圆环竖直放置，直径 MN 沿竖直方向，环上套有两个小球 A 和 B，A、B 之间用一长为 3R 的轻杆相连，小球可以沿环自由滑动，开始时杆处于水平状态，已知 A 的质量为 m，重力加速度为 g.(1)若 B 球质量也为 m，求此时杆对 B 球的弹力大小；(2)若 B 球的质量为 3m，由静止释放轻杆，求 B 球由初始位置到达 N 点的过程中，轻杆对 B 球所做的功.解析(1)对 B 球受力分析，如
17、图所示，根据平衡条件有Fmgtan 60 3mg.(2)B 球由初始位置到达 N 点的过程，由几何知识得 B 球下降的高度为12R，A 球上升的高度为 R，由系统机械能守恒得3mg12RmgR123mvB212mvA2，又 vAvB.对 B 运用动能定理得 3mg12RW123mvB2.联立以上各式解得 W98mgR.答案(1)3mg(2)98mgR方法技巧(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系(3)列机械能守恒方程时，一般选用 EkEp 或 EAEB 的形式1“轻杆连接”的多物体系统(多选)如图所示，滑
18、块 a、b 的质量均为 m，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距 h，b 放在地面上a、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动不计摩擦，a、b 可视为质点，重力加速度大小为 g.则()Aa 落地前，轻杆对 b 一直做正功Ba 落地时速度大小为2ghCa 下落过程中，其加速度大小始终不大于 gDa 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为 mg设某一时刻 a、b 速度分别为 va、vb，刚性轻杆与竖直杆的夹角为，则 vacos vbsin.当 a 落到地面时，90，cos 0，故 vb 为 0，可知 a 下落过程中 b 先加速后减速，轻杆对 b 先做正功后做负功，A 错误轻
19、杆对 a 的力先为支持力后为拉力，故 a 的加速度先小于 g 后大于 g，C 错误由于 a、b 系统只有重力和系统内杆的弹力做功，故a、b 机械能守恒，a 落地时 b 速度为零，由机械能守恒定律得mgh12mva2，得 va 2gh，B 正确当 a 机械能最小时，b 的机械能最大，即动能最大，此时 F 杆0，故 FNmg，D 正确BD2“轻绳连接”的多物体系统 如图所示，左侧为一个半径为 R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角 30.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮上，绳的两端分别系有
20、可视为质点的小球 m1和 m2，且 m1m2.开始时 m1 恰在碗口右端水平直径 A 处，m2 在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直当 m1 由静止释放运动到圆心 O 的正下方 B 点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失(1)求小球 m2 沿斜面上升的最大距离 x；(2)若已知细绳断开后小球 m1 沿碗的内侧上升的最大高度为R2，求m1m2.(1)设重力加速度为 g，小球 m1 到达最低点 B 时 m1、m2的速度大小分别为 v1、v2，由运动的合成与分解得 v1 2v2对 m1、m2系统，由机械能守恒定律得 m1gRm2gh12m1v1212m2v22由
21、几何关系得 h 2Rsin 30设细绳断后 m2沿斜面上升的距离为 x，对 m2 由机械能守恒定律得 m2gxsin 3012m2v220小球 m2沿斜面上升的最大距离 x 2Rx联立得 x(22m1 2m22m1m2)R.(2)对小球 m1，由机械能守恒定律得12m1v12m1gR2联立式得m1m22 212.(1)(22m1 2m22m1m2)R(2)2 212 1“链条”“液柱”类的物体在运动过程中往往发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看作质点来处理2“链条”“液柱”类物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，故整体机械能守恒一般情况下，可将物体分段处理，确定
22、各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解典例展示1 如图所示，有一条长为 L、质量为 m 的均匀金属链条，一半在光滑斜面上，斜面倾角为，另一半沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，以斜面顶点为重力势能零点，求：(1)开始和链条刚好从右侧全部滑出斜面时其重力势能各是多大(2)此过程中重力势能减少了多少解析(1)以斜面最高点为重力势能零点，开始时，左边一半链条重力势能为Ep1m2gL4sin mg8 Lsin 右边一半的重力势能为 Ep2mg2 L4mg8 L左右两部分总的重力势能为EpEp1Ep218mgL(1sin )最后链条从右侧刚好全部滑出时，重力势能为E
23、p12mgL.(2)重力势能减少了 Ep 减EpEp18mgL(3sin)答案(1)18mgL(1sin)12mgL(2)18mgL(3sin)典例展示2 如图所示，一条长为 L 的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为 x0，已知重力加速度为 g，LBC，BCE，试用 x0、x、L、g、表示斜面上链条长为 x 时链条的速度大小(链条尚有一部分在平台上且xx0)解析 链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为 m，以平台所在位置为零势能面，则mLx0g12x0sin 12mv2mLxg12xsin 解得 vgLx2x02sin 所以当斜面上链条长为 x 时，链条
24、的速度为gLx2x02sin.答案 gLx2x02sin 1如图所示，粗细均匀、两端开口的 U 形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为 4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为()A.18gh B.16ghC.14ghD.12gh解析：当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有18mg12h12mv2，解得 v18gh.A2一根质量为 m、长为 L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图 a 所示若将一个质量也为 m 的小球分别拴在链条左端和右端，如图 b、图 c 所示，约束链条的挡板光
25、滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为 va、vb、vc，则关于 va、vb、vc 的关系，下列判断中正确的是()AvavbvcBvavbvcCvcvavbDvavbvc链条从释放后到离开桌面，设桌面下方 L 处为零势能面，则对于题中三种情况，释放链条前三种情况下系统的重力势能分别为 Ep112mgL12mg34L78mgL，Ep212mgL12mg34LmgL158 mgL，Ep312mgL12mg34L12mgL118 mgL，释放后系统的重力势能分别为 Ep112mgL，Ep212mgLmgL32mgL，Ep312mgL.则损失的重力势能分别为 Ep138mgL、Ep238mgL、Ep378mgL，那么 Ep112mva2、Ep212(2m)vb2、Ep312(2m)vc2，解得 va23gL4、vb23gL8、vc27gL8，可得 vc2va2vb2，即 vcvavb.C课时作业 点击进入word.