1、课时作业4等差数列的性质及应用时间：45分钟基础巩固类一、选择题1已知a，b，则a，b的等差中项为(A)A.B.C.D.解析：设等差中项为x，由等差中项的定义知，2xab()()2，x，故选A.2若等差数列an的公差为d，则3an是(B)A公差为d的等差数列 B公差为3d的等差数列C非等差数列 D无法确定解析：设bn3an，则bn1bn3an13an3(an1an)3d.3在等差数列an中，a1a910，则a5的值为(A)A5 B6C8 D10解析：本题考查等差数列的基本性质等差中项由等差中项知2a5a1a910，所以a55，故选A.4数列an中，a32，a51，如果数列是等差数列，则a11(
2、B)A.B0CD解析：是等差数列，设公差为d，则2d，d，6d61，a110.5已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则a20等于(B)A1 B1C3 D7解析：设数列an公差为d，a1a3a5105，3a3105.a335.同理，由a2a4a699得a433，da4a32.a20a416d3316(2)1.6下列命题中正确的是(C)A若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列D若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：a，
3、b，c成等差数列，2bac，2b4ac4，即2(b2)(a2)(c2)，a2，b2，c2成等差数列7若an是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有(D)(1)an3；(2)a；(3)an1an；(4)2an；(5)2annA1个 B2个C3个 D4个解析：根据等差数列的定义判断，若an是等差数列，则an3，an1an，2an，2ann均为等差数列，而a不一定是等差数列8在各项均为正数的等差数列an中，若an1aan10(n2)，则a3n等于(D)A2 B0C1 D2解析：由等差中项的定义知an1an12an，结合条件得a2an，又an0，所以an2，即数列an为常数列，故a3nan2，选D.二
4、、填空题9在等差数列an中，a3a1140，则a4a5a6a7a8a9a10的值为60.解析：观察下标，利用性质即可利用性质可得a4a10a5a9a6a82a7a3a1140a720，从而a4a5a6a7a8a9a103a760.10九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升解析：设此等差数列为an，公差为d，则解得a5a14d4.11已知数列an中，a11，an1anan1an，则数列an的通项公式an.解析：1，1，1，是以1为首项，以1为公差的等差数列，1(n1)(1)n，an.三、解答题12已
5、知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数解：解法一：设5个数依次为a，ad，a2d，a3d，a4d，则解得或5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.解法二：设这5个数依次为a2d，ad，a，ad，a2d，则故这5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.13一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项解：首项是8，公差是3的等差数列的通项公式为an3n5；首项是12，公差是4的等差数列的通项公式为bm4m8.根据公共项的意义，就是两项相等，令
6、anbm，即n1，该方程有正整数解时，m3k，k为正整数，令k1，得m3，则n5，因此这两个数列有最小的公共项为20，分别是第一个数列的第5项，第二个数列的第3项能力提升类14如果有穷数列a1，a2，am(m为正整数)满足条件：a1am，a2am1，ama1，那么称其为“对称”数列例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列已知在21项的“对称”数列cn中，c11，c12，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c219.解析：因为c11，c12，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20c119d19219.又cn为21项的“对称”数列，所以c2c2019.1
7、5已知f(x)是定义在非零自然数集上的函数，当x为奇数时，有f(x1)f(x)1，当x为偶数时，有f(x1)f(x)3，且f(1)f(2)5.(1)求证：f(1)，f(3)，f(2n1)(nN)成等差数列；(2)求f(n)的解析式解：(1)证明：当x为奇数时，x1为偶数，代入已知等式有f(x1)f(x)1，f(x2)f(x1)3.得f(x2)f(x)4为常数又因为所以所以f(1)，f(3)，f(5)，f(2n1)(nN)构成首项为2，公差为4的等差数列(2)由(1)知，当n为奇数时，f(n2)f(n)4，f(1)2，所以当n2k1时，f(n)f(2k1)2(k1)42n.当n为偶数时，n1为奇数，f(n1)f(n)3，f(n2)f(n1)1，所以f(n2)f(n)4.所以f(2)，f(4)，f(6)，f(2n)构成首项为3，公差为4的等差数列所以当n2k时，f(n)f(2k)3(k1)42n1，综上所述，f(n)