1、课后素养落实(七)等比数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1等比数列an中，若a2a6a，则a3a5等于()ABCDC由题意可知a2a6aa3a5，a3a5，故选C2已知在等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则等于()A B C DD由a2a8a4a66，a4a65，a6a4，得a62，a43，故选D3将公比为q的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，此数列是()A公比为q的等比数列B公比为q2的等比数列C公比为q3的等比数列D不一定是等比数列B由于qqq2，n2且nN，anan1是以q2为公比的等比数列，故选B4已知等比数列an满足a
2、n0，n1，2，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1()An(2n1)B(n1)2Cn2D(n1)2C法一：设等比数列an的公比为q(q0)，由a5a2n522n得a1q4a1q2n6aq2n222n又an0，所以(a1qn1)2(2n)2，所以a1qn12nlog2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1) log2(aq022n2) log2aqn(n1)log2(a1qn1)nlog2(2n)nn2法二：由等比中项的性质，得a5a2n5(an)222n，注意到an0，所以an2n利用特殊值法，如令n2，则log2a1log2
3、a3log2(223)log2244只有选项C符合法三：由等比中项的性质，得a5a2n5(an)222n，注意到an0，所以an2n于是log2a1log2a3log2a2n113(2n1)n25已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等于()A4 B6 C7 D5Dan为等比数列，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，(a4a5a6)2(a1a2a3)(a7a8a9)51050，又an各项为正，故a4a5a65二、填空题6在等比数列an中，若a2，a8是方程x23x60的两个根，则a4a6_6由题知a2a86，根据等比数列的性质，a4
4、a6a2a867已知等比数列an中，a12，且a4a64a，则a3_1设等比数列an的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a4aq4q4，q2，a3a1q2218等差数列an的公差d0，a120，且a3，a7，a9成等比数列，则d_2由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9a，即(a12d)(a18d)(a16d)2，化简得2a1d20d20，由a120，d0，得d2三、解答题9已知等比数列an，若a1a2a37，a1a2a38，求an解法一：因为a1a3a，a1a2a3a8，所以a22从而解得a11，a34或a14，a31当a11时，q2；当a14时，q故an2n1或an23n法二：由
5、等比数列的定义，知a2a1q，a3a1q2代入已知，得即即将a1代入，得2q25q20，所以q2或q由得或故an2n1或an23n10三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数解由已知，可设这三个数为ad，a，ad，则adaad6，a2，这三个数可表示为2d，2，2d，若2d为等比中项，则有(2d)22(2d)，解得d6或d0(舍去)此时三个数为4，2，8若2d是等比中项，则有(2d)22(2d)，解得d6或d0(舍去)此时三个数为8，2，4若2为等比中项，则22(2d)(2d)，d0(舍去)综上可求得此三数为4，2，8或8，2，41已知各
6、项不为0的等差数列an满足a42a3a80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11等于()A1 B2 C4 D8D由已知，a42a3a80，即4a72a0，又各项不为0，a72，所以b72，则b2b8b11b82(多选题)在等比数列an中，a7a116，a4a145，则()A B1 C D2AC因为a7a11a4a146，又a4a145，所以或所以q10，所以或3等比数列an是递减数列，前n项的积为Tn，若T134T9，则a10a11a12a13_，a8a15_42T134T9，a1a2a9a10a11a12a134a1a2a9a10a11a12a134又a10a13a11a12a8
7、a15，(a8a15)24a8a152又an为递减数列，q0a8a1524在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，将这样的操作叫作该数列的一次“扩展”将数列1，4进行“扩展”，第一次“扩展”得到数列1，4，4；第二次“扩展”，得到数列1，4，4，16，4；第n次“扩展”，得到数列1，x1，x2，xt，4，并记anlog2(1x1x2xt4)，其中t2n1，nN*则数列an的通项公式an_3n1由anlog2(1x1x2xt4)，可得an1log21(1x1)x1(x1x2)x2xt(xt4)4log23an2，所以an113(an1)，则数列an1是首项为a11log24213，公
8、比为3的等比数列，故an13n，所以an3n1设数列an的前n项和为Sn，a11，_给出下列三个条件：条件：数列an为等比数列，数列Sna1也为等比数列；条件：点(Sn，an1)在直线yx1上；条件：2na12n1a22annan1试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn解方案一：选择条件(1)因为数列Sna1为等比数列，所以(S2a1)2(S1a1)(S3a1)，即(2a1a2)22a1(2a1a2a3)设等比数列an的公比为q，因为a11，所以(2q)22(2qq2)，解得q2或q0(舍去)，所以
9、ana1qn12n1(2)由(1)得an2n1，所以bn，所以Tn方案二：选择条件(1)因为点(Sn，an1)在直线yx1上，所以an1Sn1(nN)，所以anSn11(n2)，两式相减得an1anan，即2(n2)因为a11，a2S11a112，所以2适合上式所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以ana1qn12n1(2)同方案一的(2)方案三：选择条件(1)当n2时，因为2na12n1a22annan1()，所以2n1a12n2a22an1(n1)an，所以2na12n1a222an12(n1)an()，()()得2annan12(n1)an，即2(n2)，当n1时，2a1a2，2，适合上式所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以ana1qn12n1(2)同方案一的(2)