1、第八章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第一课时最值、范围、证明问题课时规范练1(2020广东佛山二模)已知A(，0)，B(，0)直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是.(1)求点M的轨迹的方程；(2)过点A的直线与轨迹交于点Q，与y轴交于点C，过T(1，0)作CT的垂线交y轴于点D，求证：ADBQ.解析：(1)设M(x，y)，则直线AM的斜率kAM，直线BM的斜率kBM，依题意得kAMkBM，整理得y21，所以点M的轨迹的方程为y21(y0)(2)证明：设直线AQ的方程为yk(x)，联立消去y整理得(15k2)x210k2x25k250，又A(，0)，所以xQ，即xQ，则yQ，
2、易得C(0，k)，直线CT的斜率kCTk，又CTTD，所以直线TD的方程为y(x1)，令x0，得D，所以直线AD的斜率kAD，又直线BQ的斜率kBQ，所以kADkBQ，所以ADBQ.2过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积解析：(1)由题意得a23，b26，c29，F2(3，0)直线方程为y(x3)，由得2x26.即5x26x270，x3或x.则A，B(3，2)|AB|.(2)由(1)得直线方程为x3y30，O(0，0)到直线的距离d，SAOB|AB|d.3. (2020贵阳模拟)如图所示，在平面直角坐标
3、系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|，求直线AB的方程解析：(1)由题意知e，2a4.又a2b2c2，解得a2，b，所以椭圆方程为1.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y(x1)将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，
4、所以|AB|x1x2|.同理，|CD|.所以|AB|CD|，解得k1，所以直线AB的方程为xy10或xy10.4(2020淄博模拟)椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解析：(1)因为左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离为，所以，解得c1.又e，解得a2，所以b2a2c23.所以所求椭圆C的方程为1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28mkx4(m23
5、)0，64m2k216(34k2)(m23)0，化为34k2m2.所以x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2，0)，kADkBD1，所以1，所以y1y2x1x22(x1x2)40，所以40.化为7m216mk4k20，解得m12k，m2.且满足34k2m20.当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2，0)与已知矛盾；当m时，l：yk，直线过定点.综上可知，直线l过定点.5已知抛物线C：y22px经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y
6、轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解析：(1)因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)，由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0，或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3.所以直线l的斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2.直线PA的方程为y2(x1)令x0，得点M的纵坐标为yM22.同理得点N的纵坐标为yN2.由，得1yM，1yN.所以2.所以为定值