1、四川省泸州市2020届高三数学二诊考试试题 文（含解析）一、选择题1.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义直接计算即可.【详解】，故，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.2.为虚数单位,则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则计算即可.【详解】，故虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.3.两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】基
2、本事件总数n6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m4，由此能求出其中两名男生刚好相邻的概率.【详解】两名男生、一名女生站成一排，基本事件总数n6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m4，其中两名男生刚好相邻的概率p.故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是( )A. 有99%以上的把握认为“学生性别与中学
3、生追星无关”B. 有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【答案】B【解析】【分析】通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.5.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由即可得解.【详解】.故选D.【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式及同角三角函数关系，属于基础
4、题.6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（）A. 44斛B. 144斛C. 288斛D. 388斛【答案】B【解析】【分析】先求出圆的半径，再利用圆锥的体积计算公式即可得出.【详解】3丈30尺，303R，解得R10，由题意可得：31027144斛.故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的体积计算公式，考查考生的计算能力，属
5、于基础题.7.函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.【详解】，故，所以曲线在处的切线方程为：.令，则，故切线的纵截距为.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.8.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） A. B. 3C. 15D. 10【答案】D【解析】【分析】根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环.【详解】i1，S0，S011，i2；S1+43，i3；S396，i4；S6+
6、1610，i5，跳出循环.故选：D.【点睛】本题考查程序框图，考查了推理能力，属于基础题.9.已知函数f(x)=Asin(2x)(A0) ，若函数f(xm)(m0)是偶函数、则实数m的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意利用三角函数的奇偶性以及图象的对称性，求得m的最小值.【详解】函数f（x）Asin（2x）（A0），若函数f（xm）Asin（2x2m）（m0）是偶函数，则 2m最小为，则实数m的最小值为，故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于基础题.10.已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的
7、取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围.【详解】由题设有，故，故椭圆，因为点为上的任意一点，故.又，因为，故，所以.故选：D.【点睛】本题考查椭圆几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.11. 若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1设该正三棱柱的外接球半径为R，易知
8、该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60，所以R2，则该球的表面积为4R212.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，结合、可求离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于.因为，故四边形为平行四边形，故.又双曲线为中心对称图形，故.设，则，故，故.因为为直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称
9、）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.已知直线l：x+m2y0与直线n：x+y+m0，若，则m的值为_.【答案】【解析】【分析】由m210，解得m，经过验证即可得出.【详解】，则m210，解得m1，经过验证都满足ln，则m1.故答案为：1.【点睛】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查考生的计算能力，属于基础题.14.若x，y满足约束条件，则z3x+2y的最小值是_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.【详解】由z3x+2y得y，作出不等式组对应的平面
10、区域如图（阴影部分）：平移直线y由图象可知：当直线y经过点A时，直线y的截距最小，此时z也最小，将A（1，1）代入目标函数z3x+2y，得z5.故答案为：5.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法.15.设函数y=f(x)的图象与y2x+a的图象关于直线对称，且，则a_.【答案】【解析】【分析】在函数yf（x）的图象上取点（x，y），则关于直线yx对称点为（y，x），代入y2x+a，可得答案.【详解】因为函数yf（x）图象与y2x+a的图象关于直线yx对称，且f（4）1；故（1，4）在y2x+a的图象上，故有421+aa
11、3.故答案为：3.【点睛】本题考查函数的解析式，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.16.的角所对的边分别为，且，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值.【详解】因为，故，因为，所以.由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足，所以即.因为，解得或（舍）.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23
12、题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列an的前n项和Sn和通项an满足.（1）求数列an的通项公式；（2）等差数列bn中，b13a1，b22，求数列an+bn的前n项和Tn.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先由数列an的前n项和Sn和通项an的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列an的类型，再求出通项公式；（2）先由题设条件求出bn，再结合（1）中的an求出an+bn，最后求出Tn.【详解】（1）当n1时有2S1+a113a1，解得.又2Sn+an1（nN*），2Sn+1+an+11 .由可得：2（Sn+1Sn）+an+1an02an+1+an+1a
13、n，即an+1，所以数列an是以为首项，以为公比的等比数列，an（）n.（2）等差数列bn中，b13a11，b22，bnn，an+bn（）n+n.Tn+（1+2+3+n）.【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.三棱柱ABCA1B1C1中，平面AA1B1B平面ABC，ABAA1A1B4，BC2，AC2，点F为AB的中点，点E为线段A1C1上的动点.（1）求证：BC平面A1EF；（2）若B1EC160，求四面体A1B1EF的体积.【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可得：A1FAB.利用线面
14、、面面垂直的判定定理与性质定理可得：A1FBC.利用勾股定理的逆定理可得：BCAC.进而证明结论.（2）利用直角三角形的边角关系可得：EC1，A1E.由（I）可得：A1F底面A1B1C1，A1FA1E，A1F2.可得A1EF的面积S.由（I）可得：BC平面A1EF，可得B1C1平面A1EF，即可得出四面体A1B1EF的体积.【详解】（1）ABAA1A1B，点F为AB的中点，A1FAB，平面AA1B1B平面ABC，平面AA1B1B平面ABCAB，A1F平面ABC，BC平面ABC，A1FBC.AB4，BC2，AC2，AB2BC2+AC2，ACB90，BCAC.ACA1C1，BCA1C1，又A1FA
15、1EA1，BC平面A1EF；（2）B1EC160，EC1，A1E2.由（1）可得：A1F底面A1B1C1，A1FA1E，A1F2.A1EF的面积S4.由（1）可得：BC平面A1EF，B1C1BC，B1C1平面A1EF，四面体A1B1EF的体积SB1C142.【点睛】本题考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、等边三角形与直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19.某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据
16、丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的. （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（2）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将（1）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y关于x的回归真线方程，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？参考公式：最小二乘法估计分别为，.【答案】（1）宽度为：2， 平均值：5（2）空白栏中填5，
17、投入万元【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各个小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论.利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（2）利用公式求出即可计算y关于x的回归方程.【详解】（1）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m1，所以m2.小组依次是0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12），其中点分别为1，3，5，7，9.11对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04.故可估计平均值为10.16+30.20+5028+70.24+90.08+11
18、0.045.（2）空白栏中填5.由题意可知，3，3.8，69，55，所以1.2，3.81.230.2.所以关于x的回归方程为取，得到.【点睛】本题考查频率分布直方图、线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，属于中档题.20.抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点P在C上，若PFx轴，且POF（O为坐标原点）的面积为1.（1）求抛物线C的方程；（2）若C上的两动点A，B（A，B在x轴异侧）满足，且|FA|+|FB|AB|+2，求|AB|的值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先解出P点坐标，再表示POF面积为1，解得p
19、，进而得出抛物线方程.（2）设直线AB方程为xmy+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，消元x，可得含y的一元二次方程，由韦达定理可得y1+y2，y1y2，|AB|，因为|FA|+|FB|AB|+2，得x1+x2|AB|，2m2+2n|AB|由得2m2+2n，根据32，所以y1y232，n28n1280，进而得出答案.【详解】（1）由题知P点的横坐标为，代入抛物线方程得，y22p，解得yp或p，所以P（，p）或（，p），POF面积为1，解得p2，所以抛物线C方程为y24x，SOFP.（2）设直线AB方程为xmy+n，A（x1，y1），B（x2，y2）联立抛物线方程得y22m
20、y2n0，y1+y22m，y1y22n，|AB|因为|FA|+|FB|AB|+2，所以x1+1+x2+1|AB|+2，即x1+x2|AB|，my1+n+my2+n|AB|，m（y1+y2）+2n|AB|，2m2+2n|AB|由得2m2+2n，化简得m2n22n，因为32，所以x1x2+y1y232，所以y1y232，（y1y2）2+16y1y216320，（2n）2+16（2n）16320，n28n1280，解得n8（舍）或16，所以|AB|2m2+2n2（n22n）+2n2n22n480.【点睛】本题考查抛物线方程，向量在圆锥曲线的应用，直线与抛物线相交，属于中档题.21.已知函数.（1）求
21、证：当x(0,时，f(x)1；（2）求证：当m2时，对任意x0(0, ，存在x1(0,和x2(0,(x1x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）变换得到，设，求导得到最值得到答案.（2）只需要求出f（x）在（0，上的值域，然后研究g（x）的单调性是先增后减或先减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含f（x）的值域即可.【详解】（1），即，设，则，函数单调递减，故，即，得证.（2）f（）0，当时，故f（x）的值域为0，1）.又因为g（x），x（0，m2.令（0，1）.显然ymx2是增函数.时，g（x）0，g（x）递减；，g
22、（x）0，g（x）递增.此时g（x）min，（m2）.将上式化简并令r（m）2lnmm+22ln2，m2.，r（m）在（2，+）上递减.所以r（m）r（2）0，故g（x）min0.显然当x0时，g（x）+，即当时，g（x）递减，且函数值取值集合包含f（x）的值域0，1）；而g（）（1）m2ln2（1）2ln2（1ln）2（31ln），即当x时，g（x）递增，且函数值取值集合包含f（x）的值域0，1）.所以当m2时，对任意x0（0，存在x1（0，和x2（0，（x1x2）使g（x1）g（x2）f（x0）成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题.考查了学生运用数学思想方法（转化与化
23、归、数形结合、函数与方程分类讨论）解决问题的能力.同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.属于较难的题目.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点，点满足.（1）求点的轨迹方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线交于不同于原点的点求.【答案】（1） ；（2）.【解析】【分析】(1)先设出点的坐标,然后根据点满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线的方程;（2）根据(1)将求出曲线的极坐标方程,分别求出射线与的交点的极径为,以及射线与的交点的极径为,最后根据求出所求.【详解】（1）设,则由条件知.由于M点在上,所以即从而的参数方程为 .
24、(2)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.射线与的交点A的极径为,射线与的交点B的极径为.所以.【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题23.已知.（1）解不等式；（2）若均为正数，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求的最小值.【详解】（1），由得或或，解得.（2），所以，由柯西不等式得：所以，即 （当且仅当时取“=”）.所以的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.