1、上海市长宁区2015届高三上学期期末（暨一模）理科数学试卷考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分考试时间120分钟解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1函数ysin2xcos2x的最小正周期是_.考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法.专题：三角函数的图像与性质分析：先利用二倍角公式化简函数，再求函数的周期解答：解：函数y=sin2xcos2x=，函数y=sin2xcos2x的最小正周期是=故答案为：点评：本题考查二倍角公式，考查三角
2、函数的周期，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键2若集合，则MN_.考点：交集及其运算.专题：集合分析：利用不等式的性质和交集的定义求解解答：解：集合M=x|x|2=x|2x2，N=x|x23x0=x|0x3，MN=x|0x2=0，2故答案为：0，2点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用3复数=_.（是虚数单位）考点：复数代数形式的乘除运算.专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：复数=2i，故答案为：2i点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题4已知数列的前项和，则其通项公式为 考点：数列的函数特性.专题：计算题分析：由数列
3、an的前n项和Sn=542n，利用公式直接求解解答：解：a1=S1=5421=3，an=SnSn1=（542n）（542n1）=当n=1时，故答案为：点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用5. 已知，则 考点：极限及其运算.专题：计算题分析：由等差数列的前n项和公式，把等价转化为=6，进而得到=6，所以，由此能求出a解答：解：，=6，=6，解得a=28故答案为：28点评：本题考查数列的极限的运算，角题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列前n项和公式的灵活运用6. 已知且，则复数对应点在第二象限的概率为（用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式.
4、专题：计算题分析：由已知中a，b3，2，1，1，2，3且ab，我们可以列举出所有（a，b）点的个数及复数z=a+bi对应点在第二象限的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，即可得到答案解答：解：a，b3，2，1，1，2，3且ab，则（a，b）点共有（3，2），（3，1），（3，1），（3，2），（3，3），（2，3），（2，1），（2，1），（2，2），（2，3），（1，3），（1，2），（1，1），（1，2），（1，3），（1，3），（1，2），（1，1），（1，2），（1，3），（2，3），（2，2），（2，1），（2，1），（3，1），（3，3），（3，2），（3，1），（3，1），（
5、3，2），共30种情况其中a0，b0，即复数z=a+bi对应点在第二象限共有：（3，1），（3，2），（3，3），（2，1），（2，2），（2，3），（1，1），（1，2），（1，3），共9种情况故复数z=a+bi对应点在第二象限的概率P=故答案为：点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中分别计算出基本事件的总数及满足条件的基本事件个数是解答本题的关键7已知函数，是函数的反函数，若的图象过点，则的值为考点：反函数.专题：函数的性质及应用分析：由y=f1（x）的图象过点（2，4）得函数y=f（x）的图象过点（4，2），把点（4，2）代入y=f（x）的解析式求得a的值解答：解：y=f
6、1（x）的图象过点（2，4），函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+logax，2=1+loga4，即a=4故答案为：4点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题8如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是 .考点：直线与平面所成的角.专题：空间角分析：设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出圆锥的母线与底面所成角的余弦值，也就求出了夹角的度数解答：解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：R=2r，R=2r，母线与底面所成角的余弦值=，母线与底面所成角是60故答案为：
7、60点评：本题用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数9根据右面的框图，打印的最后一个数据是 .考点：程序框图.专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，写出每次循环得到的A的值，当A=63，不满足条件A35，结束开始结束是否A35A1A2A+1打印解答：解：执行程序框图，有A=1，A=3，输出A的值为3，满足条件A35，A=7，输出A的值为7，满足条件A35，A=15，输出A的值为15，满足条件A35，A=31，输出A的值为31，满足条件A35，A=63，输出A的值为63，不满足条件A35，结束故打印的最后一个数据是63故答案为：63
8、点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查10已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最大项，则数列的首项的取值范围是 .考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和.专题：计算题分析：因为S7是数列Sn中的唯一最大项 所以a7大于0 而a8小于0由此可导出首项a1的取值范围解答：解：S7是数列Sn中的唯一最大项 所以a7大于0，而a8小于0， a1+6d0，a1+7d0，即 a1120，a1140得到a1的范围 12a114故答案：（12，14）点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用11五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信
9、封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 考点：等可能事件的概率.专题：计算题分析：根据题意，首先由排列数公式分析可得5位同学每人随机地抽取1张卡片的情况；进而分两步分析5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况数目，先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，分析抽到的都不是其本人制作的3人，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案解答：解：根据题意，共5张贺卡，5位同学每人随机地抽取1张，有A55=120种情况，要满足5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作，可以先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的
10、，有C52=10种情况，则剩余的3人，抽到的都不是其本人制作的，有2种情况，则5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况有102=20种，其概率P=；故答案为点评：本题考查等可能事件概率计算，关键是正确理解“恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的”的含义12. 已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且， 则的值是 。考点：余弦定理；余弦定理的应用.专题：计算题；转化思想分析：利用余弦定理可得 cosB=，代入已知 ，化简后即可得结果解答：解：cosB=，=5sinB=3sinB=故答案为点评：本题考查了余弦定理的应用，解题时要认真观察，发现已知条件和余弦定理的关系，整体代入解决问
11、题13. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为考点：平行向量与共线向量.专题：压轴题分析：三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一解答：解：=（）=+，M、O、N三点共线，+=1，m+n=2故答案：2点评：本题考查三点共线的充要条件14. 已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 考点：二项式定理；函数零点的判定定理.专题：综合题；转化思想；综合法分析：先求出展开式中的常数项T，求得函数的周期是2，由于g（x）=f（x）kxk有4个零点，即函数
12、f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，根据两个函数的图象特征转化出等价条件，得到关于k的不等式，求解易得解答：解：的常数项为=2f（x）是以2为周期的偶函数区间1，3是两个周期区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意当k0时，r（1）=0，两函数图象有四个交点，必有0r（3）1解得0k故答案为：点评：本题考点二项式定理，主要考查依据题设条件灵活转化的能力，如g（x）=f（x）kxk有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，灵活转化是正确转化是解题的关键二选择题(本大题满分20
13、分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分15设z1、z2C,则“z+z=0”是“z1=z2=0”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：数系的扩充和复数分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若z1=i，z2=1，满足设“z12+z22=0”，但“z1=z2=0”不成立，若z1=z2=0，则z12+z22=0
14、成立，故“z12+z22=0”是“z1=z2=0”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的概念是解决本题的关键16函数的图象为 （ ）来源:学科网 （A） （B） （C） （D）考点：函数的图象；指数函数的图像与性质.专题：数形结合分析：先考查 y=a|x|的图象特征，y=a|x+b|的图象可看成把 y=ax的图象向右平移b（0b1）个单位得到的，即可得到 y=a|x+b|的图象特征解答：解：0a1，y=ax的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过（0，1）， y=a|x| 的图象可看成把 y=ax的图象在y 轴的右铡的不变，再将右侧的图象作关于y轴
15、的图象得到的，y=a|x+b|的图象可看成把 y=ax的图象向右平移b（0b1）个单位得到的，故选C点评：本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想17.是ABC所在平面内的一点，且满足，则ABC的形状一定是 （ ）（A）正三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形 （D）斜三角形考点：三角形的形状判断.专题：计算题分析：利用向量的运算法则将等式中的向量 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状解答：解：=0，ABC为等腰三角形故选C点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，向量模的计算，以及等腰三角
16、形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键18.下面有五个命题：函数的最小正周期是；终边在y轴上的角的集合是；在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点；把函数；在中，若，则是等腰三角形；其中真命题的序号是 （ ）（1）（2）（3） （2）（3）（4） （3）（4）（5） （1）（4）（5）考点：命题的真假判断与应用.分析：化简函数的解析式求出函数的周期，可判断的真假；写出指定角的集合，比照后可判断的真假；在同一坐标系中画出两个函数的图象，可判断的真假；根据函数图象的平移法则，可判断的真假；由正弦定理及正切函数的性质，可判断的真假；进而得到答案解答：解：函数y=sin
17、4xcos4x=cos2x的最小正周期是，故错误；终边在y轴上的角的集合是a|a=，kz，故错误；在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有（0，0）一个公共点，故正确；把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin2（x）+=3sin（2x）的图象，故正确；在ABC中，若acosB=bcosA，即sinAcosB=sinBcosA，即tanA=tanB，即A=B，则ABC是等腰三角形，故正确；故选C点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，熟练掌握三角函数的定义，图象，性质是解答本题的关键三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相
18、应编号规定区域内写出必须的步骤19（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：三棱锥中，底面，若底面是边长为2的正三角形，且与底面所成的角为若是的中点，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积.分析：（1）欲求三棱锥PABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA底面ABC，所以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M
19、为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出ABC的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入PMN中，求出角即可解答：解：（1）因为PA底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以 因为AB=2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MNAC所以PMN为异面直线PM与AC所成的角 计算可得：，MN=1，异面直线PM与AC所成的角为点评：本题主要考查了在几何体中求异面直线角的能力解题关键再与找平行线，本题主要通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧20（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分
20、）已知（1）求的值；（2）求的值。考点：两角和与差的正切函数.专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）运用同角的倒数关系，解方程，即可得到；（2）运用诱导公式和二倍角的余弦公式及同角的平方关系和商数关系，计算即可得到解答：解：（1）由于，则有3tan2+8tan3=0，解得或tan=3，tan=3；（2）=cos2=（cos2sin2）=点评：本题考查同角的平方关系和商数关系、倒数关系及诱导公式、二倍角的余弦公式，考查运算能力，属于基础题21（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）已知函数的图像与轴正半轴的交点为，=1，2，3， (1) 求数列的通项公式；(2) 令为正整数）,
21、 问是否存在非零整数, 使得对任意正整数，都有？ 若存在, 求出的值 , 若不存在 , 请说明理由考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式.专题：计算题分析：（1）函数f（x）=x2+（2n）x2n的图象与x轴正半轴的交点横坐标只需令y=0求出x即为数列an的通项公式；（2）若存在0，满足bn+1bn恒成立，然后讨论n的奇偶将进行分离，利用恒成立的方法求出的范围即可解答：解：（1）设f（x）=0，x2+（2n）x2n=0得 x1=2，x2=n所以an=n（4分）（2）bn=3n+（1）n12n，若存在0，满足bn+1bn恒成立即：3n+1+（1）n2n+13n+（1）n12n，（6分）恒成
22、立 （8分）当n为奇数时，1（10分）当n为偶数时，（12分）所以 （13分），故：=1（14分）点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及数列与不等式的综合和恒成立问题的应用，属于中档题22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数（、），满足，且在时恒成立（1）求、的值；（2）若，解不等式；（3）是否存在实数，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数的性质；函数恒成立问题.专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（1）由f（1）=0得a+c=，再由恒成立得a0且=4ac0，从而解得a=c=（2
23、）由（1）得f（x）=x2x+，从而化不等式为（xb）（x）0，从而讨论解得；（3）g（x）=x2（+m）x+，假设存在实数m，使函数g（x）在区间m，m+2上有最小值5从而讨论单调性以确定最小值，从而解得解答：解：（1）由f（1）=0，得a+c=，因为f（x）0在R上恒成立，所以a0且=4ac0，ac，即a（a），即（a）20，所以a=c=（2）由（1）得f（x）=x2x+，由f（x）+h（x）0，得x2（b+）x+0，即（xb）（x）0，所以，当b时，原不等式解集为（b，）；当b时，原不等式解集为（，b）；当b=时，原不等式解集为空集（3）g（x）=x2（+m）x+，g（x）的图象是开口向
24、上的抛物线，对称轴为直线x=2m+1假设存在实数m，使函数g（x）在区间m，m+2上有最小值5当2m+1m，即m1时，函数g（x）在区间m，m+2上是增函数，所以g（m）=5，即m2（+m）m+=5，解得m=3或m=，因为m1，所以m=3；当m2m+1m+2，即1m1时，函数g（x）的最小值为g（2m+1）=5，即（2m+1）2（+m）（2m+1）+=5，解得m=或m=+，均舍去； 当2m+1m+2，即m1时，g（x）在区间m，m+2上是减函数，所以g（m+2）=5，即（m+2）2（+m）（m+2）+=5，解得m=12或m=1+2，因m1，所以m=1+2综上，存在实数m，m=3或m=1+2时，
25、函数g（x）在区间m，m+2上有最小值5（18分）点评：本题考查了函数的性质应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想属于中档题23. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列满足(1)设是公差为的等差数列.当时,求的值;(2)设求正整数使得一切均有(3)设当时,求数列的通项公式.考点：数列递推式；数列的函数特性.专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：（1）先根据条件得到数列bn的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列bn的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列bn的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况
26、求出数列bn的通项公式，最后综合即可解答：解：（1）an+1an=3，bn+1bn=n+2，b1=1，b2=4，b3=8（2）an+1an=2n7，bn+1bn=，由bn+1bn0，解得n4，即b4b5b6；由bn+1bn0，解得n3，即b1b2b3b4k=4（3）an+1an=（1）n+1，bn+1bn=（1）n+1（2n+n）bnbn1=（1）n（2n1+n1）（n2）故b2b1=21+1；b3b2=（1）（22+2），bn1bn2=（1）n1（2n2+n2）bnbn1=（1）n（2n1+n1）当n=2k时，以上各式相加得bnb1=（222+2n2+2n1）+12+（n2）+（n1）=+=+bn=+当n=2k1时，=+（2n+n）=+bn=点评：本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目