1、第1讲函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1.直线xym0与圆x2y22x20相切，则实数m等于()A.或 B.或3C.3或 D.3或3解析圆的方程(x1)2y23，圆心(1，0)到直线的距离等于半径|m|2m或m3.答案C2.已知函数f(x)满足下面关系：f (x1)f (x1)；当x1，1时，f (x)x2，则方程f (x)lg x解的个数是()A.5 B.7 C.9 D.10解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数.又f(x)lg x，则x(0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案C3.函数f(x)的定义域为R，f (1)2，对任意x
2、R，f(x)2，则f (x)2x4的解集为()A.(1，1) B.(1，)C.(，1) D.(，)解析f(x)2转化为f(x)20，构造函数F(x)f (x)2x，得F(x)在R上是增函数.又F(1)f (1)2(1)4，f (x)2x4，即F(x)4F(1)，所以x1.答案B4.(2015陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B.16万元C.17万元 D.18万元解析设甲、乙的产量
3、分别为x吨，y吨，每天可获得利润为8万元，由已知可得目标函数z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由得A(2，3).则zmax324318(万元).答案D二、填空题5.(2015福建卷)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于_.解析由题意知，abp，abq，p0，q0，a0，b0，在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有a，2，b；b，2，a.或解得或p5，q4
4、，故pq9.答案96.若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_.解析作出y|x2a|和yxa1的简图，依题意知应有2a22a，故a.答案7.经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_.解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为.答案1，18.(2015江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点.若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，
5、则实数c的最大值为_.解析双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.答案三、解答题9.已知数列an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值.解(1)设an的公差为d，由已知条件，解出a13，d2.所以ana1(n1)d2n5.(2)Snna1dn24n4(n2)2.所以n2时，Sn取到最大值4.10.(2015安徽卷)设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|
6、2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.(1)解由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而.进而ab，c2b，故e.(2)证明由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得，又(a，b)，从而有a2b2(5b2a2).由(1)的计算结果可知a25b2，所以0，故MNAB.11.设函数f (x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们在x1处的切线互相平行.(1)求b的值；(2)若函数F(x)且方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.解函数g(x)bx2ln x的定义域为(0，)，(1)f(x)
7、3ax23af(1)0，g(x)2bxg(1)2b1，依题意得2b10，所以b.(2)x(0，1)时，g(x)x0，即g(x)在(0，1)上单调递减，x(1，)时，g(x)x0，即g(x)在(1，)上单调递增，所以当x1时，g(x)取得极小值g(1)；当a0时，方程F(x)a2不可能有四个解；当a0，x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(，1)上单调递减，x(1，0)时，f(x)0，即f(x)在(1，0)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解.当a0，x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(，1)上单调递增，x(1，0)时，f(x)0，即f(x)在(1，0)上单调递减，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F(x)a2有四个解，则a22a，解得a2，所以，实数a的取值范围是.