1、47正弦定理、余弦定理及其应用1正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_其中R是三角形外接圆的半径(2)正弦定理的其他形式：a2RsinA，b_，c_；sinA，sinB_，sinC_；abc_.2余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2_，b2_，c2_.若令C90，则c2_，即为勾股定理(2)余弦定理的推论：cosA_，cosB_，cosC_.若C为锐角，则cosC0，即a2b2_c2；若C为钝角，则cosC0，即a2b2_c2.故由a2b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或
2、直角(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角_，余弦定理亦可以写成sin2Asin2Bsin2C-2sinBsinCcosA，类似地，sin2B_；sin2C_.注意式中隐含条件ABC.3解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用_定理，只有一解(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用_定理，可能有_如在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数(3)已知三边，用_定理有解时，只有一解(4)已知两边及夹角，用_定理，必有一解4三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S_其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半
3、径(2)ABC，则A_，_，从而sinA_，cosA_，tanA_；sin_，cos_，tan_.tanAtanBtanC_.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b_2sinB_2sincos2coscostantan.(4)在ABC中，abcosCccosB，b_，c_.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠1(1)2R(2)2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2(1)b2c2-2bccosAc2a2-2cacosBa2b2-2abcosCa2b2(2)(3)互化sin2Csin2A-2sinCsinAcosBsin2Asin2B-2sinAsinBcosC
4、3(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解一解 两解一解一解(3)余弦(4)余弦4(1)absinCbcsinAacsinB(abc)r(2)-(BC)-sin(BC)-cos(BC)-tan(BC)cossintanAtanBtanC(3)acsinAsinC(4)acosCccosAacosBbcosA ()在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则“ab”是“sinAsinB”的()A充分必要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D非充分非必要条件解：在ABC中，由正弦定理可得，即，注意到a，b，sinA，sinB均为正数，则absinAsinB，亦即“ab”是“sinAsinB
5、”的充分必要条件故选A. ()在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC ()A1 B2 C3 D4解：由余弦定理得AB2BC2AC2-2BCACcosC，即139AC23AC，解得AC1.故选A. 设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosCsinCcosBsinAsinA，即sin(BC)sinAsinA，亦即sinAsinAsinA.因为0A，所以sinA1，A.所以ABC为直角三角形故选B. ()在ABC中，a4，b5，c6，
6、则_.解：1.故填1. ()在ABC中，a1，b2，cosC，则sinA_.解：由余弦定理得c2a2b2-2abcosC14-2124，即c2，cosA，所以sinA.故填. 类型一正弦定理的应用()ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b_.解：在ABC中由cosA，cosC，可得sinA，sinC，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，由正弦定理得b.故填.【点拨】先根据条件得到至少两个角的正弦值，再利用正弦定理，实现边角互化()在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()A- B C1 D解：由正弦定
7、理得-12-12-1.故选D.类型二余弦定理的应用在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且-.(1)求B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积解：(1)由余弦定理知，cosB，cosC，将上式代入-得-，整理得a2c2-b2-ac.所以cosB-.因为B为三角形的内角，所以B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c2-2accosB，得1342-2ac-2accos，解得ac3.所以SABCacsinB.【点拨】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用()在ABC中，B，BC边上
8、的高等于BC，则cosA()A. B. C- D-解：由题意可得acsinc，则ac.在ABC中，由余弦定理可得b2a2c2-acc2c2-3c2c2，则bc.由余弦定理，可得cosA-.故选C.类型三正、余弦定理的综合应用ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcosCcsinB.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB.因为A-(BC)，所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由，和C(0，)得sinBcosB.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积SacsinBac.由已知及余弦
9、定理得b2a2c2-2accosB，即4a2c2-2accos，又a2c22ac，所以ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.【点拨】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值()在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanAtanB).(1)证明：ab2c；(2)求cosC的最小值解：(1)证明：由题意知2，化简得2(sinAcosBsinBcosA)sinAsinB，即2sin(AB)sinAsinB，因为ABC，所
10、以sin(AB)sin(-C)sinC，从而sinAsinB2sinC，由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cosC-，当且仅当ab时等号成立，故cosC的最小值为.类型四判断三角形的形状在三角形ABC中，若tanAtanBa2b2，试判断三角形ABC的形状解法一：由正弦定理，得，所以，所以，即sin2Asin2B.所以2A2B，或2A2B，因此AB或AB，从而ABC是等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理，得，所以，所以，再由正、余弦定理，得，化简得(a2-b2)(c2-a2-b2)0，即a2b2或c2a2b2.从而ABC是等腰三角形或直角三角形【点拨】由已知条件，可先将切化弦，
11、再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握()在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角，lgblglgsinA-lg，则ABC为()A锐角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解：由lgblglg-lglg，得，即cb.由lgsinA-lg，得sinA，又A为锐角，所以cosA.由余弦定理：a2b2c2-2bccosA得ab，故BA45，因此C90.故选D.类型五解三角形应用举例某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的
12、轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20 n mile的A处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile，则S，故当t时，Smin10，此时v30.即小艇以30 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离
13、最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t2-22030tcos(90-30)，故v2900-.因为0AC，且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇设COD(090)，则在RtCOD中，CD10tan，OD.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t和t，所以.由此可得，v.又v30，故sin(30)，从而，300，故有a-b0，即ab.故选A.6()在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC()A. B2 C. D2解：在ABD中，由正弦定理得sinAD
14、B，因为0ADBa，由正弦定理得到sinA，所以A.故选B.2()如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于()A10 m B5 mC5(-1) m D5(1) m解：直角三角形中，根据三角函数的定义得-10，解得AB5(1) (m)故选D.3()在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2，则的值为()A. B. C. D.解：因为a2b2c2，可得b2a2-c2，所以cosB.因此可得.故选C.4()ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2(a-b)26，C，则ABC的面积为()A3
15、 B. C. D3解：由c2(a-b)26，可得a2b2-c22ab-6，由余弦定理得2abcosC2ab-6，因为C，所以ab6，所以ABC的面积为absinC6.故选C.5()已知三个向量m，n，p共线，其中a，b，c，A，B，C分别是ABC的三条边及相对应的三个角，则ABC的形状是()A钝角三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解：因为m与n共线，所以acosbcos，由正弦定理得sinAcossinBcos，又因为sinA2sincos，sinB2sincos，所以2sincoscos2sincoscos，化简得sinsin.因为0，0，所以，可得AB.同理，可由n与p共线
16、得到BC，则在ABC中，ABC，即ABC是等边三角形故选B.6()在锐角ABC中，若A2B，则的范围是(a，b分别为角A，B的对边)()A(，) B(，2) C(0，2) D(，2)解：因为A2B，所以根据正弦定理得：2cosB.因为ABC180，所以3BC180，即C180-3B，因为角C为锐角，所以30B60，又0A2B90，所以30B45，所以cosB，即2cosB0)，则aksinA，bksinB，cksinC.代入中，有，变形可得sinAsinBsinAcosBcosAsinBsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(-C)sinC.所以sinAsinBsinC.(
17、2)由已知，b2c2-a2bc，根据余弦定理，有cosA，所以sinA.由(1)，sinAsinBsinAcosBcosAsinB，所以sinBcosBsinB，即sinB4cosB.故tanB4. ()已知向量a，b，函数f(x)ab.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2ac，且角B的大小为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域解：(1)向量a，b，则函数f(x)absincoscos2sincossin，令2k-2k，kZ.解得3k-x3k，kZ，故函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)因为b2ac，所以cosx，又-1cosx1，所以cosx1，所以0x，所以，所以sin1，所以sin1，即函数f(x)的值域为.