1、第六章 不等式网络体系总览考点目标定位1.理解不等式的性质及应用.2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|b|ab|a|+|b|.复习方略指南本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数
2、列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：1.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝
3、对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.6.1 不等式的性质知识梳理1.比较准则：ab0ab；ab=0a=b；ab0ab.2.基本性质：（1）abba.（2）ab，bcac.（3）aba+cb+c；ab，cda+cb+d.（4）ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd.（5）ab0（nN，n1）；ab0anbn（nN，n1）.3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：ab，ab0，不能弱化条件得ab，也不能强化条件得ab0.4.要正确处理带等号的情况.如由ab，bc或ab，bc均可得出ac；而由
4、ab，bc可能有ac，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c.5.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.6.性质（5）中的指数n可以推广到任意正数的情形.特别提示不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是“”型.要注意二者的区别.点击双基1.若ab0，则下列不等式不能成立的是A.B.2a2bC.|a|b|D.（）a（）b解析：由ab0知ab0，因此ab，即成立；由ab0得ab0，因此|a|b|0成立.又（）x是减函数，所以（）a（）b成立.故不成立的是B.答案：B2.（2004年春季北京，7）已知三个不等式：ab0，bcad0，0（其中a
5、、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析：由ab0，bcad0可得出0.bcad0，两端同除以ab，得0.同样由0，ab0可得bcad0.ab0.答案：D3.设（0，），0，那么2的范围是A.（0，）B.（，）C.（0，）D.（，）解析：由题设得02，0.0.2.答案：D4.ab0，m0，n0，则，的由大到小的顺序是_.解析：特殊值法即可答案：5.设a=2，b=2，c=52，则a、b、c之间的大小关系为_.解析：a=2=0，b0.c=52=0. bc=37=0.cba.答案：cba典例剖析【例1
6、】 已知1a+b3且2ab4，求2a+3b的取值范围.剖析：a+b，ab的范围已知，要求2a+3b的取值范围，只需将2a+3b用已知量a+b，ab表示出来.可设2a+3b=x（a+b）+y（ab），用待定系数法求出x、y.解：设2a+3b=x（a+b）+y（ab），解得（a+b），2（ab）1.（a+b）（ab），即2a+3b.评述：解此题常见错误是：1a+b3，2ab4.+得12a7.由得4ba2.+得52b1，3b.+得2a+3b.思考讨论1.评述中解法错在何处?2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题：已知函数f（x）=ax2c，满足4f（1）1，1f（2）5，求f（3）的最大值
7、和最小值.答案：20 1【例2】 （2004年福建，3）命题p：若a、bR，则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（，13，+），则A.“p或q”为假B.“p且q”为真C. p真q假D. p假q真剖析：只需弄清命题p、q的真假即可.解：|a+b|a|+|b|，若|a|+|b|1不能推出|a+b|1，而|a+b|1一定有|a|+|b|1，故命题p为假.又函数y=的定义域为|x1|20，|x1|2.x1或x3.q为真.答案：D【例3】 比较1+logx3与2logx2（x0且x1）的大小.剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的
8、单调性.解：（1+logx3）2logx2=logx.当或即0x1或x时，有logx0，1+logx32logx2.当或时，logx0.解得无解，解得1x，即当1x时，有logx0，1+logx32logx2.当x=1，即x=时，有logx=0.1+logx3=2logx2.综上所述，当0x1或x时，1+logx32logx2；当1x时，1+logx32logx2；当x=时，1+logx3=2logx2.评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.深化拓展函数f（x）=x2+（b1）x+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x2x11.当tx1时，比
9、较t2+bt+c与x1的大小.提示：令f（x）=（xx1）（xx2），x2+bx+c=（xx1）（xx2）+x.把t2+bt+c与x1作差即可.答案：t2+bt+cx1.闯关训练夯实基础1.（2004年辽宁，2）对于0a1，给出下列四个不等式：loga（1+a）loga（1+）；loga（1+a）loga（1+）；a1+aa1；a1+aa.其中成立的是A.B.C.D.解析：0a1，a，从而1+a1+.loga（1+a）loga（1+）.又0a1，a1+aa.故与成立.答案：D2.若p=a+（a2），q=2，则A.pqB.pqC.pqD.pq解析：p=a2+24，而a2+4a2=（a2）2+22
10、，q4.pq.答案：A3.已知12a0，A=1+a2，B=1a2，C=，D=则A、B、C、D按从小到大的顺序排列起来是_.解析：取特殊值a=，计算可得A=，B=，C=，D=.DBAC.答案：DBAC4.若13，42，则|的取值范围是_.解析：42，0|4.4|0.3|3.答案：（3，3）5.已知a2，b2，试比较a+b与ab的大小.解：ab（a+b）=（a1）（b1）1，又a2，b2，a11，b11.（a1）（b1）1，（a1）（b1）10.aba+b.6.设A=xn+xn，B=xn1+x1n，当xR+，nN时，求证：AB.证明：AB=（xn+xn）（xn1+x1n）=xn（x2n+1x2n1
11、x）=xnx（x2n11）（x2n11）=xn（x1）（x2n11）.由xR+，xn0，得当x1时，x10，x2n110；当x1时，x10，x2n10，即x1与x2n11同号.AB0.AB.培养能力7.设0x1，a0且a，试比较|log3a（1x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.解：0x1，当3a1，即a时，|log3a（1x）3|log3a（1+x）3|=|3log3a（1x）|3log3a（1+x）|=3log3a（1x）log3a（1+x）=3log3a（1x2）.01x21，3log3a（1x2）0.当03a1，即0a时，|log3a（1x）3|log3a（1+x）3|=3lo
12、g3a（1x）+log3a（1+x）=3log3a（1x2）0.综上所述，|log3a（1x）3|log3a（1+x）3|.8.设a1，令a2=1+.（1）证明介于a1、a2之间；（2）求a1、a2中哪一个更接近于；（3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.（1）证明：（a1）（a2）=（a1） （1）=0.介于a1、a2之间.（2）解：|a2|=|1|=|=|a1|a1|.a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，则a3比a2更接近于.由（2）知|a3|=|a2|a2|.探究创新9.已知x1，n2且nN*，比较（1+x）n与1+nx的大小.解：设f（x）=（1+x）n（1+
13、nx），则（x）=n（1+x）n1n=n（1+x）n11.由（x）=0得x=0.当x（1，0）时，（x）0，f（x）在（1，0）上递减.当x（0，+）时，（x）0，f（x）在（0，+）上递增.x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）0.（1+x）n1+nx.评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.思悟小结1.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有ab0ab，ab=0a=b，ab0ab，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注
14、意不等式是否同向（且大于零）.4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.教师下载中心教学点睛1.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如ab、cd在什么条件下才能推出acbd.3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.拓展题例【例1】 已知f（x）=|log2（x+1）|，mn，f（m）=f（n）.（1）比较m+n与0的大小；（2）比较f（）与f（）的大小.剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.解：（1）f（m）=f（n），|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.log22（m+1）=log22（n+1）
15、.log2（m+1）+log2（n+1）log2（m+1）log2（n+1）=0，log2（m+1）（n+1）log2=0.mn，1.log2（m+1）（n+1）=0.mn+m+n+1=1.mn+m+n=0.当m、n（1，0或m、n0，+）时，由函数y=f（x）的单调性知x（1，0时，f（x）为减函数，x0，+）时，f（x）为增函数，f（m）f（n）.1m0，n0.mn0.m+n=mn0.（2）f（）=|log2|=log2=log2，f（）=|log2|=log2.=0.f（）f（）.【例2】 某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y1和y2.一张全票价格为a元，那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.y1y2=a+0.55ax0.75a（x+1）=0.2a（1.25x）.当x1.25时，y1y2；当x1.25时，y1y2.又因x为正整数，所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社；当x2（xN），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.