1、第六节 椭 圆 1.椭圆的定义 设F1,F2，M分别为平面内的两个定点与动点，若 _=2a，且2a|F1F2|，则点M的轨迹为 椭圆,_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的_.|MF1|+|MF2|两个定点 焦距 2.椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 _(ab0)_(ab0)2222xy1ab2222yx1ab图形 性 质 范围 _x_ _y_ _x_ _y_ 对称性 对称轴：_ 对称中心：_ 顶点 A1_，A2_ B1_，B2_ A1_，A2_ B1_，B2_ -a a-b b-b b-a a 坐标轴 原点(-a，0)(a，0)(0，-b)(0，b)(0，-a)(0，
2、a)(-b，0)(b，0)图形 性 质 轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|=2c 离心率 e=_ a,b,c 的关系 a2=_ ca(0，1)b2+c2 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.()【解析】(1)错误.由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆,而常
3、数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,不存在图形.(2)正确.由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.(3)错误.因为e=所以e越大,则 越小，椭圆就越扁.222cabb1(),aaaba(4)正确.由椭圆的对称性知,其关于原点中心对称,也关于两坐标轴对称.答案:(1)(2)(3)(4)1.已知椭圆 =1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3,则P到另一个焦点F2的距离为()(A)2 (B)3 (C)5 (D)7【解析】选D.a=5,且|PF1|=3,|PF1|+|PF2|=10,|PF2
4、|=10-3=7.22xy25162.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距 离和是26,则椭圆的方程为()(A)=1 (B)=1(C)=1 (D)=1【解析】选A.已知c=5,2a=26.a=13,b=12.又焦点在x轴上，故方程为 =1.22xy16914422xy14416922xy1692522xy144252222ac13522xy1691443.“-3m5”是“方程 =1表示椭圆”的()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】选B.方程 =1表示椭圆，则 -3m5且m1.故方程 =1表示椭圆,可得-3m5
5、成立，但-3m5时,如m=1却不表示椭圆,故选B.22xy5mm322xy5mm35m0,m3 0,5mm3,22xy5mm34.已知椭圆 =1的离心率e=则m的值为_.【解析】当焦点在x轴上时,0m5，a2=5,b2=m,c2=5-m,又e=解得m=3.当焦点在y轴上时,m5，a2=m,b2=5，c2=m-5,又e=解得m=综上可知m=3或 答案:3或 22xy5m105，105，5m10,55105，m510,5m25.325.32535.已知椭圆的短轴长为6，离心率为 则椭圆的一个焦点到 长轴端点的距离为_.【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3.又因为离心率为 所以 又因为a2=b2
6、+c2,解组成的方程组得：a=5,c=4.所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.答案:9或1 45，45，c4.?a5考向 1 椭圆的定义及应用【典例1】(1)(2013揭阳模拟)已知F1，F2是椭圆 =1 的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中，若 有两边之和是10，则第三边的长度为()(A)6 (B)5 (C)4 (D)3(2)(2013珠海模拟)在ABC中，点B(-12,0),C(12,0),且 AC,AB边上的中线长之和等于39,则ABC的重心的轨迹方程 为_.22xy169(3)已知F1,F2是椭圆C:=1(ab0)的两个焦 点,P为椭圆C上的一点，
7、且 若PF1F2的面积 为9,则b=_.【思路点拨】(1)根据椭圆的定义求解.(2)先寻找到ABC的重心与两定点B,C的关系，再根 据椭圆的定义求出轨迹方程.(3)关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而依据定义有|PF1|+|PF2|=2a,再利用 求出|PF1|PF2|，即得b值.2222xyab1PF2PF.1PF2PF【规范解答】(1)选A.根据椭圆定义，知AF1B的周长为4a=16，故所求的第三边的长度为16-10=6.(2)如图,设M是ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上 的中线,由重心的性质知|BM|=|BD|,|CM|=|CE|.于是|MB|+|MC|=|BD|+|CE
8、|=(|BD|+|CE|)=39=26.又26|BC|=24,232323232323根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为焦点的椭圆.2a=|MB|+|MC|=26,a=13.又2c=|BC|=24,c=12.b2=a2-c2=132-122=25.故所求的轨迹方程为 =1(y0).答案:=1(y0)22xy1692522xy16925(3)由题意知|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2,2|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2.|PF1|PF2|=2b2,=|PF1|PF2|=2b2
9、=b2=9.b=3.答案:3 1PF2PF,1 2PFFS1212【互动探究】将本例题(3)中条件“”“PF1F2的面 积为9”分别改为“F1PF2=60”“=”,则结果如 何?1PF2PF1 2PFFS3 3【解析】由题意得|PF1|+|PF2|=2a,又F1PF2=60,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2,(PF1+PF2)2-3|PF1|PF2|=4c2,3|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2,|PF1|PF2|=b2,=|PF1|PF2|sin60=b2=b2=b=3.431 2PFFS12124332333 3,【拓展提升】(1)(2)焦
10、点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等.【提醒】利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2a|F1F2|这一条件.【变式备选】已知动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离 之和为 (1)，则点P轨迹的离心率的取值范围为()(A)1)(B)(C)(0,(D)(1)2 33,33,332333,2【解析】选C.由已知，到两定点F1(-1,0)，F2(1,0)的距离之和 为 (1)的点的轨迹是一个椭圆,其中心坐标为(0,0)，长轴长为 (1)，焦距为2,故a=,
11、c=1,所以离心率e=因为1,所以e(0,，即点P轨迹的离心率的取值范围为(0,.2 32 33c3.a33333考向 2 椭圆的标准方程与几何性质【典例2】(1)(2012江西高考)椭圆 =1(ab0)的 左、右顶点分别是A,B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_.2222xyab(2)(2012广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:=1(ab0)的离心率e=且椭圆C上的点到Q(0，2)的距离的最大值为3.求椭圆C的方程;在椭圆C上，是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2相交于不同的两点A,
12、B，且OAB的面积最大？若存 在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说 明理由.2222xyab23，【思路点拨】(1)根据椭圆的几何性质，利用数形结合的思想,将|AF1|,|F1F2|,|F1B|用含a,c的代数式表示，再由其成等比数 列构建a,c的方程,转化为关于离心率e的方程，得e.(2)先根据e=将待定系数a用b表示，再根据椭圆C上任意 一点P(x,y)满足椭圆C的方程，将|PQ|表示为y的函数，求其最 大值，从而求出b,得C的方程;23，可求出原点到直线l的距离,进而求出|AB|的长，即可求出 SOAB=|AB|d=再根据M(m,n)在椭圆上，+n2=1,即n2=1-
13、因而 SOAB=从而确定出m，n的值.问题得解.122222mn1,mn2m32m.3222222mm1332221m2 1m33，【规范解答】(1)由几何性质知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又三者成等比数列,所以|F1F2|2=|AF1|F1B|,即4c2=a2-c2,a2=5c2,所以e2=e=答案:1,55.555(2)由e=得a=b，椭圆C:=1，即x2+3y2=3b2.设P(x,y)为椭圆C上任意一点,则|PQ|=(-byb).若b1，则-b-1，当y=-b时,|PQ|max=3,又b0，得b=1(舍去),222cab2aa3，32222xy3bb22x
14、y2222 y 13b6222b 13b6 若b1，则-b-1，当y=-1时，|PQ|max=3,得b=1,椭圆C的方程为 +y2=1.假设存在点M(m,n)满足题意,则 +n2=1,即n2=1-设原点到直线l:mx+ny=1的距离为d,则d=|AB|=2 =2 2221 13b6 2x32m32m.3221.mn21 d2222mn1.mnSOAB=|AB|d=当且仅当1=即m2=n2=亦即m=n=时,(SOAB)max=M()或M().122222mn1mn222222mm133.2221m2 1m3322m,33,21,26,2221.26,2226,222显然存在这样的点M()或M()
15、或 M()或M()，使SAOB最大，最大 值为 6,2226,2226,2226,2221.2【拓展提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能.(2)设方程：根据上述判断设出方程.(3)找关系：根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组.(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【提醒】当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可 设为 =1(m0,n0,mn)，也可设为Ax2+By2=1(A0,B0且AB).22xymn2.利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆
16、有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x,y的范围，离心率的范围等不等关系.(2)利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.3.求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.【变式训练】(2013长沙模拟)已知椭圆C1:=1(ab0)的右焦点为F,上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2:x2+(y-3)2=1的一条直径，若与AF平行且在y
17、轴上的截距为 3-的直线l恰好与圆C2相切.(1)求椭圆C1的离心率.(2)若 的最大值为49,求椭圆C1的方程.2222xyab2PMPN【解析】(1)由题意可知直线l的方程为bx+cy-(3-)c=0,因为直线l与圆C2:x2+(y-3)2=1相切，所以d=1,即a2=2c2,从而e=2223c3c2cbc2.2(2)设P(x,y),则 =1(c0),即x2+2y2=2c2,又 =x2+(3-y)2-1=-(y+3)2+2c2+17(-cyc),2222xy2ccPMPN2222PCC M(PCC N)2222PCC N当c3时,()max=17+2c2=49,解得c=4,此时椭圆方程为
18、=1.当0c3,()max=-(-c+3)2+17+2c2=49,解得c=5 -3.但c=5 -33,故舍去.综上所述，椭圆C1的方程为 =1.PMPN22xy3216PMPN2222xy3216考向 3 直线与椭圆的位置关系【典例3】(1)(2013佛山模拟)若直线mx+ny=4和圆O：x2+y2=4 没有交点，则过点(m,n)的直线与椭圆 =1的交点个数 为()(A)至多1个 (B)2个(C)1个 (D)0个 22xy94(2)(2013兰州模拟)设椭圆C1:=1(ab0)的左、右 焦点分别是F1,F2，下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C2:y=x2-1与y轴
19、的交点为B，且经过F1，F2点.求椭圆C1的方程.设M(0，),N为抛物线C2上的一 动点，过点N作抛物线C2的切线交椭 圆C1于P，Q两点，求MPQ面积的最 大值.2222xyab45【思路点拨】(1)判断点(m,n)与椭圆的位置关系，然后再判断 直线与椭圆的交点个数.(2)求出y=x2-1与x轴，y轴的交点坐标得到c,b的值，再根据 a2=b2+c2求出a,代入C1的方程.设N(t,t2-1)，建立过点N的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系设而不求，整体代入求得|PQ|，进而用 点到直线的距离公式求出点M到直线PQ的距离d,从而得SMPQ=|PQ|d求解.12【规范解答】(1)选
20、B.直线mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，2,m2+n2b0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四 边形，且OAB30，则椭圆E的离心率等于_.2222xyab【解析】依题设知,BCAO且BC=AO，BC=a.又由椭圆的对称性得B,C关于y轴对称且OAB=30,点C的坐标为()，又因为点C在椭圆E上，所以有 =1，解得a2=9b2，因此，a2=9(a2-c2)，即 所以椭圆E的离心率等于 答案:a,23a62222a3a4a36b22c8a9，2 2.32 233.已知椭圆C：=1(ab0)的长轴长为4，且离心率为e=(1)求椭圆的方程.(2)椭圆C：=1(ab0)
21、的左顶点为A，右顶点为B，点 S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=3分别 交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值.2222xyab2.22222xyab【解析】(1)由2a=4,得a=2,e=c=b2=22-()2=2,所求的椭圆方程为 =1.(2)依题意，直线AS的斜率k存在，且k0,故可设直线AS的 方程为y=k(x+2),从而M(3，5k)，由 得:(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,c2a2，2，222xy4222yk x2,xy142 设S(x1,y1),则(-2)x1=得x1=从而y1=则S().又B(2，0)，可得直线SB的方程为 化简得：y=(x-2).由 得 N(3，),228k412k2224k,12k24k,12k2224k,12k24k1 2k222y0 x24k24k0212k12k12k1yx2,2kx3,x3,1y,2k 12k故|MN|=|5k+|.又k0,|MN|=5k+当且仅当5k=即k=时等号成立.当k=时，线段MN的长度取得最小值 12k12k12 5k10,2k 1,2k1010101010.