1、6.1.4求导法则及其应用学 习 任 务核 心 素 养1熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数(重点)2掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数(难点)3掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数(易混点)1通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养2借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养如何求下列函数的导数：(1)yx；(2)y2x2sin x问题：由此你能类比联想一下f(x)g(x)的求导法则吗？提示f(x)g(x)f(x)g(x)知识点1导数的运算法则(1)和与差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)(2)积的导数f(x)g(x)f(
2、x)g(x)f(x)g(x)；Cf(x)Cf(x)(3)商的导数，g(x)0拓展：f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)af(x)bg(x)af(x)bg(x)(a，b为常数)(1)f(x)g(x)f(x)g(x)中“”“”前后一致；(2)区别记忆函数积与商的导数中f(x)g(x)与f(x)g(x)的连接符号，函数积的导数中为“”，函数商的导数中为“”；(3)一般来说，f(x)g(x)f(x)g(x)，1函数f(x)xex的导数f(x)()Aex(x1)B1exCx(1ex)Dex(x1)Af(x)xexx(ex)exxexex(x1)，故选A2若函数f(x)ax2c，且
3、f(1)2，则a_1f(x)ax2c，f(x)2ax，故f(1)2a2，a1知识点2复合函数的概念及求导法则(1)复合函数的概念一般地，已知函数yf(u)与ug(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x)有意义，且称yh(x)f(g(x)为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量(2)一般地，如果函数yf(u)与ug(x)的复合函数为yh(x)f(g(x)，则可以证明，复合函数的导数h(x)与f(u)，g(x)之间的关系为h(x)f(g(x)f(u)g(x)f(g(x)g(x)这一结论也可以表示为yxyuux函数ylog
4、2(x1)是由哪些函数复合而成的？提示函数ylog2(x1)是由ylog2u及ux1两个函数复合而成3思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数f(x)是复合函数()(2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos(x)()(3)ye2x的导数y2e2x()(4)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)()答案(1)(2)(3)(4) 类型1导数四则运算法则的应用【例1】求下列函数的导数(1)yx2x2；(2)y3xex2xe；(3)y；(4)yx2sin cos解(1)y2x2x3(2)y(ln 31)(3e)x2xln 2(3)y(4)yx2sincosx2sin x，y2
5、xcos x1解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则2对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程跟进训练1已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)_3因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，f(0)32已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x(其中e为自然对数的底数)，则f(e)_因为f(x)2xf(e)ln x，所以f(x)2f(e)令xe，f(e)2f(e)，即f(e)
6、类型2复合函数的导数【例2】(对接教材P83例3)求下列函数的导数(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x思路点拨先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导解(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1(2)函数y可看作函数yu3和u2x1的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)4(3)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x)(4)函数ysin3x可看作函数yu3和usin x的复合函数，函数ysi
7、n 3x可看作函数ysin v和v3x的复合函数yx(u3)(sin x)(sin v)(3x)3u2cos x3cos v3sin2x cos x3cos 3x1解答此类问题常犯的两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成2复合函数求导的步骤跟进训练3求下列函数的导数(1)y；(2)ylog2(2x21)解(1)y1设y1，u1x，则yyuux(1)(1x)(1)(2)设ylog2u，u2x21，则yyuux4x 类型3导数运算法则的综合应用若点P是曲线yex上的任意一点，如何求点P到直线l：yx的最小距离？提示如图，当曲
8、线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线l的距离最小设P(x0，y0)，则y|e，由e1可知x00，此时y0e01即P(0，1)，利用点到直线的距离公式得最小距离d【例3】(1)设曲线yeax在点(0，1)处的切线与直线x2yb0垂直，则a_(2)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离为_(1)2(2)(1)因为yeax，所以yaeax，由题意可知y|x0a2可知a2(2)设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行，又因为y，所以y|xx02，解得x01y0ln(21)0，即切点坐标为(1，0)，点(1，0)到直线2xy30的距离
9、d，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是正确的求出复合函数的导数是解题的前提，审题时，注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.跟进训练4已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若直线l与圆C：x2y2相切，求实数a的值解因为f(1)a，f(x)2ax(x2)，所以f(1)2a2，所以切线l的方程为2(a1)xy2a0因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d，解得a1函数y(2 0218x)3的导数y()A3(2 0218x)2B24xC24
10、(2 0218x)2D24(2 0218x)2Cy3(2 0218x)2(2 0218x)3(2 0218x)2(8)24(2 0218x)22函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2xBy(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x3若函数f(x)x2ln x的图像在(a，f(a)处的切线与直线2x6y50垂直，则a的值为()A1B2或C2D1或D由题意知：直线2x6y50的斜率为
11、，则f(x)在(a，f(a)处切线的斜率为3，又f(x)2x，即f(a)2a3，a1或，故选D4已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_f(x)(3x1)，f(1)5曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_y3xy3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke033，切线方程为y3x回顾本节知识，自我完成以下问题：1求函数的导数的常见类型及解题思路有哪些？提示导数的计算在应用导数研究函数性质中具有非常重要的作用，大量的错误都是导数求解错误所致，进而影响后续问题的解答，因此在应用导数公式的基础上深刻理解函数式的结构特征，并把握以下的求导原则是十分必要的(1)对于分式中
12、分子、分母齐次结构的函数，可考虑通过裂项化为和差形式若待求导的函数是两个函数商的形式，可以直接利用商的导数运算法则进行求导，但这样做运算量较大，如果先对函数进行适当变形，再对函数求导，这样会大大减少运算量(2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形若待求导的函数中含有根式，可以应用求导公式和导数的运算法则直接求解，但这样往往比较烦琐，因此可以考虑先对函数进行适当变形分子、分母有理化有理化有两种形式：一是分子中含有根式，则进行分子有理化；二是分母中含有根式，则进行分母有理化如果所给两“项”的分母是互为有理化因式的结构形式，直接通分就能达到分母有理化的效果，从而使化简过程更为简捷(3)对于多个整式乘积形式的函数，可以考虑展开，化为和差形式若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小(4)对于三角函数，可考虑恒等变形对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导2如何求复合函数的导数？提示(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究yf(axb)型复合函数的求导，不难得到y(axb)f(axb)af(axb)