1、4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）知识梳理1.化简要求（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数.2.化简常用方法（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）.（2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等.3.常用技巧（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质.（3）注意利用角与角之间的隐含关系.（4）注意利用“1”的恒等变形.点击双基1.满足coscos=+sinsin的一组、的值是A.=，=B.=，=C.=，=D.=，=解析：由已知得cos（+）=，代入检验得A.答案：A2.已
2、知tan和tan（）是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是A.b=a+cB.2b=a+cC.c=b+aD.c=ab解析：tan=1.=1.b=ac.c=a+b.答案：C3.f（x）=的值域为A.（1，1）（1，1）B.，1）（1，C.（，）D.，解析：令t=sinx+cosx=sin（x+），1）（1，则f（x）=，1）（1，.答案：B4.已知coscos=，sinsin=，则cos（）=_.解析：（coscos）2=，（sinsin）2=.两式相加，得22cos（）=.cos（）=.答案：典例剖析【例1】 求证：2cos（+）=.剖析：先转换命题，只需证sin（2+）2co
3、s（+）sin=sin，再利用角的关系：2+=（+）+，（+）=可证得结论.证明：sin（2+）2cos（+）sin=sin（+）+2cos（+）sin=sin（+）cos+cos（+）sin2cos（+）sin=sin（+）coscos（+）sin=sin（+）=sin.两边同除以sin得2cos（+）=.评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例2】 P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且PF1F2=，PF2F1=2，求证：椭圆的离心率
4、为e=2cos1. 剖析：依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，e=.在PF1F2中解此三角即可得证.证明：在PF1F2中，由正弦定理知=.由比例的性质得=e=2cos1.评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.深化拓展求cot104cos10的值.分析：给出非特殊角，怎样化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值.提示：cot104cos10=4cos10=.答案：.闯关训练夯实基础1.（2003年高考新课程卷）已知x（，0），cosx=，则tan2x等于A.B.C.D. 解析：cosx=，x（，0），sinx=.tanx=.tan2x=.答案：D2.（2004年
5、春季北京）已知sin（+）0，cos（）0，则下列不等关系中必定成立的是A.tancotB.tancotC.sincosD.sincos解析：由已知得sin0，cos0，则tancot=0.tancot.答案：B3.下列四个命题中的假命题是A.存在这样的、，使得cos（+）=coscos+sinsinB.不存在无穷多个、，使得cos（+）=coscos+sinsinC.对于任意的、，cos（+）=coscossinsinD.不存在这样的、，使得cos（+）coscossinsin解析：由cos（+）=coscos+sinsin=coscossinsin，得sinsin=0.=k或=k（kZ）.
6、答案：B4.函数y=5sinx+cos2x的最大值是_.解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+12sin2x=2（sinx）2+.sinx=1时，ymax=4.答案：45.求周长为定值L（L0）的直角三角形的面积的最大值.解法一：a+b+=L2+.S=ab（）2=2=L2.解法二：设a=csin，b=ccos.a+b+c=L，c（1+sin+cos）=L.c=.S=c2sincos=.设sin+cos=t（1，则S=（1）（1）=L2.6.（2004年湖南，17）已知sin（+2）sin（2）=，（，），求2sin2+tancot1的值.解：由sin（+2）sin（2）=sin（+2）
7、cos（+2）=sin（+4）=cos4=，得cos4=.又（，），所以=.于是2sin2+tancot1=cos2+=cos2+=（cos2+2cot2）=（cos+2cot）=（2）=.培养能力7.求证：=.证明：左边=，右边=，左边=右边，原式成立.8.（2005年春季北京，15）在ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和ABC的面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.解法一：sinA+cosA=cos（A45）=，cos（A45）=.又0A180，A45=60，A=105.tanA=tan（45+60）=2.sinA=s
8、in105=sin（45+60）=sin45cos60+cos45sin60=.SABC=ACABsinA=23=（+）.解法二：sinA+cosA=，（sinA+cosA）2=.2sinAcosA=.0A180，sinA0，cosA0.90A180.（sinAcosA）2=12sinAcosA=，sinAcosA=.+得sinA=.得cosA=.tanA=2.（以下同解法一）探究创新9.锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y，求tany的最大值.解：sinycscx=cos（x+y），sinycscx=cosxcosysinxsiny，siny（sinx+cscx）=cos
9、xcosy.tany=，当且仅当tanx=时取等号.tany的最大值为.思悟小结1.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y=Asin（x+）（A0，0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再
10、求之.教师下载中心教学点睛1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.2.有条件的三角函数求值有两个关键：三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.条件的合理应用：注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合.3.注意方程思想的应用.拓展题例【例1】 试证：=.证明：左边=cot，右边=cot，原等式成立.【例2】 已知、（0，），3sin=sin（2+），4tan=1tan2.求+的值.解：4tan=1tan2，2tan=1，tan=.3sin=sin（2+），3sin=sin（+）cos+cos（+）sin.3sin（+）cos3cos（+）sin=sin（+）cos+cos（+）sin.sin（+）cos=2cos（+）sin.tan（+）=2tan=1.+=.评述：角的变换是常用技巧.如2+=（+）+，=（+）等.