1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（学案）一、温故知新在物理学上，一个物体受到的力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功，其一般关系是什么？在数学上又是怎样理解呢？二、知识互动知识点一 向量的数量积1.已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把 叫做与的数量积（或内积），记作 ，即 = 2. 叫做向量在方向上（在方向上）的投影3. 的几何意义：数量积等于的长度 与在的方向上的投影 的乘积， 或的长度与在方向上投影 的乘积【疑难点拨】（1）两个向量的数量积是一个实数，并且规定 （2）当为锐角时，；当为钝角时，；当时， （3）向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以
2、另一个向量在其上的投影值，投影是个数量，不是向量，当为直角的时候是零，当为钝角的时候是负值知识点二 数量积的性质若、是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则1. 2. ； 3.若与同向，则= ；若与反向，则= ；特别地：= 或= 4.= 5.对任意两个向量，有，当且仅当 时等号成立【疑难点拨】（1）利用性质（2）可以解决有关两非零向量垂直的问题；由，则；反之，由，则（2）利用或可进行向量的数量积运算及向量与实数的转换知识点三 数量积的性质1. (交换律)2. = 3. 【想一想】向量数量积的运算律与多项式的运算律有何不同？三、典例探究例1已知 与的夹角，求例2我们知道，对任意的实数，恒有对任意向量，是否也有下面类似的结论？（1）， (2).例3已知与的夹角，求例4.已知与不共线.为何值，向量与互相垂直？四、当堂检测1.已知向量与满足且2，则与的夹角为 （ ）A. B. C. D. 2四边形ABCD中，则四边形ABCD是 （ ）A. 直角梯形 B. 菱形C. 矩形 D. 正方形3设、是单位向量，且，则的最小值 （ ）A. B. C. D. 4已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是
