1、2.4 函数的奇偶性知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）或f（x）+ f（x）=0，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）或f（x）f（x）=0，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（，+）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇
2、函数与一个偶函数之和.点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR）A.1 B.2 C.3 D.4解析：不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0x（a，a）.答案：A2.已知函数f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）=ax3bx2cx是A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3cx（a0）为奇函数.答案：A3.若偶函数f（x
3、）在区间1，0上是减函数，、是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是A.f（cos）f（cos）B.f（sin）f（cos）C.f（sin）f（sin）D.f（cos）f（sin）解析：偶函数f（x）在区间1，0上是减函数，f（x）在区间0，1上为增函数.由、是锐角三角形的两个内角，+90，90.1sincos0.f（sin）f（cos）.答案：B4.已知f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则a_，b_.解析：定义域应关于原点对称，故有a12a，得a.又对于所给解析式，要使f（x）f（x）恒成立，应b0.答案： 05.给定函数:y=（x0）；y=x2+1；y=2
4、x；y=log2x；y=log2（x+）.在这五个函数中，奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是_.答案： 典例剖析【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x2）在0，2上是单调减函数，则A.f（0）f（1）f（2）B.f（1）f（0）f（2）C.f（1）f（2）f（0）D.f（2）f（1）f（0）剖析：由f（x2）在0，2上单调递减，f（x）在2，0上单调递减.y=f（x）是偶函数，f（x）在0，2上单调递增.又f（1）=f（1），故应选A.答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）f（x）=；（4）f（x）=剖析：根据
5、函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= =，这时有f（x）=f（x），故f（x）为奇函数.（4）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当x0时，x
6、0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D=x|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且f（x）在（0，+）上是增函数，求x的取值范围.（1）解：令x1=x2=1，有f（11）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=1，有f（1）（1）=f（
7、1）+f（1）.解得f（1）=0.令x1=1，x2=x，有f（x）=f（1）+f（x），f（x）=f（x）.f（x）为偶函数.（3）解：f（44）=f（4）+f（4）=2，f（164）=f（16）+f（4）=3.f（3x+1）+f（2x6）3即f（3x+1）（2x6）f（64）.（*）f（x）在（0，+）上是增函数，（*）等价于不等式组或或或3x5或x或x3.x的取值范围为x|x或x3或3x5.评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.
8、深化拓展已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）0的解集是（a2，b），g（x）0的解集是（，），a2，那么f（x）g（x）0的解集是A.（，）B.（b，a2）C.（a2，）（，a2）D.（，b）（b2，a2）提示：f（x）g（x）0或x（a2，）（，a2）.答案：C【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f（x）=x+m（p0）是奇函数.（1）求m的值.（2）（理）当x1，2时，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p1，当x1，2时，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）f（x）是奇函数，f（x）=f（x）.x+m=xm.2m=0.m=0.（2）（理）（）当p0时，据定义可证明f（x）在
9、1，2上为增函数.f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.（）当p0时，据定义可证明f（x）在（0，上是减函数，在，+）上是增函数.当1，即0p1时，f（x）在1，2上为增函数，f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.当1，2时，f（x）在1，p上是减函数.在p，2上是增函数.f（x）min=f（）=2.f（x）max=maxf（1），f（2）=max1+p，2+.当1p2时，1+p2+，f（x）max=f（2）；当2p4时，1+p2+，f（x）max=f（1）.当2，即p4时，f（x）在1，2上为减函数，f（x）max=f（1）=1+p，f
10、（x）min=f（2）=2+.（文）解答略.评述：f（x）=x+（p0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.深化拓展f（x）=x+的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？闯关训练夯实基础1.定义在区间（，+）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间0，+）上的图象与f（x）的图象重合，设ab0，给出下列不等式，其中成立的是f（b）f（a）g（a）g（b）f（b）f（a）g（a）g（b）f（a）f（b）g（b）g（a）f（a）f（b）g（b）g（a）A. B. C. D.解析：不妨取符合题意的函数f（x）=x及g（x）=|x|进行比较，或一般地g（x）= f
11、（0）=0，f（a）f（b）0.答案：D2.（2003年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在1，0上是减函数，那么f（x）在2，3上是A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析：偶函数f（x）在1，0上是减函数，f（x）在0，1上是增函数.由周期为2知该函数在2，3上为增函数.答案：A3.已知f（x）是奇函数，当x（0，1）时，f（x）=lg，那么当x（1，0）时，f（x）的表达式是_.解析：当x（1，0）时，x（0，1），f（x）=f（x）=lg=lg（1x）.答案：lg（1x）4.（2003年北京）函数f（x）=lg（
12、1+x2），g（x）=h（x）=tan2x中，_是偶函数.解析：f（x）=lg1+（x）2=lg（1+x2）=f（x），f（x）为偶函数.又1当1x1时，1x1，g（x）=0.又g（x）=0，g（x）=g（x）.2当x1时，x1，g（x）=（x）+2=x+2.又g（x）=x+2，g（x）=g（x）.3当x1时， x1，g（x）=（x）+2=x+2.又g（x）=x+2，g（x）=g（x）.综上，对任意xR都有g（x）=g（x）.g（x）为偶函数.h（x）=tan（2x）=tan2x=h（x），h（x）为奇函数.答案：f（x）、g（x）5.若f（x）=为奇函数，求实数a的值.解：xR，要使f（x）
13、为奇函数，必须且只需f（x）+f（x）=0，即a+a=0，得a=1.6.（理）定义在2，2上的偶函数g（x），当x0时，g（x）单调递减，若g（1m）g（m），求m的取值范围.解：由g（1m）g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1m|）g（|m|）.又g（x）在（0，+）上单调递减，|1m|m|，且|1m|2，|m|2，解得1m.说明：也可以作出g（x）的示意图，结合图形进行分析.（文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+）上是增函数，又f（3）=0，则不等式xf（x）0的解集为A.（3，0）（0，3）B.（，3）（3，+）C.（3，0）（3，+）D.（，3）（
14、0，3）解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.答案：A培养能力7.已知f（x）x（）.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）0.（1）解：f（x）x，其定义域为x0的实数.又f（x）xxxf（x），f（x）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x0时，有f（x）0.又f（x）是偶函数，且当x0时x0，当x0时f（x）f（x）0，即对于x0的任何实数x，均有f（x）0.探究创新8.设f（x）=log（）为奇函数，a为常数，（1）求a的值；（2）证明f（x）在（1，+）内单调递增；（3）若对于3，4上的每一个x的值，不等式f（x）（）x+m恒成立，求实数m的取值范围.（1）解：f（x）
15、是奇函数，f（x）=f（x）.log=log=01a2x2=1x2a=1.检验a=1（舍），a=1.（2）证明：任取x1x21，x11x210.001+1+0loglog，即f（x1）f（x2）.f（x）在（1，+）内单调递增.（3）解：f（x）（）xm恒成立.令g（x）=f（x）（）x.只需g（x）minm，用定义可以证g（x）在3，4上是增函数，g（x）min=g（3）=.m时原式恒成立.思悟小结1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.教师下载中心教学点睛1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对
16、称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质.拓展题例【例1】 已知函数f（x）=（a、b、cZ）是奇函数，又f（1）=2，f（2）3，求a、b、c的值.解：由f（x）=f（x），得bx+c=（bx+c）.c=0.由f（1）=2，得a+1=2b.由f（2）3，得3，解得1a2.又aZ，a=0或a=1.若a=0，则b=，与bZ矛盾.a=1，b=1，c=0.【例2】 已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、xR均有f（x+x）=f（x）+f（x），且对任意
17、x0，都有f（x）0，f（3）=3.（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；（3）试求函数y=f（x）在m，n（m、nZ，且mn0）上的值域.分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.（2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f（0）=0后，再利用条件f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x1、x2的任意性，可使结论得证.（3）由（1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y=f（x）在m、n上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域.（1）证明：任取x1、x2R，且x1x2，f（
18、x2）=fx1+（x2x1），于是由题设条件f（x+x）=f（x）+f（x）可知f（x2）=f（x1）+f（x2x1）.x2x1，x2x10.f（x2x1）0.f（x2）=f（x1）+f（x2x1）f（x1）.故函数y=f（x）是单调减函数.（2）证明：对任意x、xR均有f（x+x）=f（x）+f（x），若令x=x=0，则f（0）=f（0）+f（0）.f（0）=0.再令x=x，则可得f（0）=f（x）+f（x）.f（0）=0，f（x）=f（x）.故y=f（x）是奇函数.（3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数，y=f（x）在m，n上也为单调减函数.y=f（x）在m，n上的最大值为f（m），最小值为f（n）.f（n）=f1+（n1）=f（1）+f（n1）=2f（1）+f（n2）=nf（1）.同理，f（m）=mf（1）.f（3）=3，f（3）=3f（1）=3.f（1）=1.f（m）=m，f（n）=n.因此，函数y=f（x）在m，n上的值域为n，m.评述：（1）满足题设条件f（x+x）=f（x）+f（x）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.（2）若将题设条件中的x0，均有f（x）0改成均有f（x）0，则函数f（x）就是R上的单调增函数.（3）若题设条件中的m、nZ去掉，则我们就无法求出f（m）与f（n）的值，故m、nZ不可少.