1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十一)互斥事件一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014滨州高一检测)奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.不是互斥事件【解析】选C.甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲
2、或乙分得红色”的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件.2.(2014泰安高一检测)许洋说:“本周我至少做完3套练习题.”设许洋所说的事件为A,则A的对立事件为()A.至多做完3套练习题B.至多做完2套练习题C.至多做完4套练习题D.至少做完3套练习题【解析】选B.至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6套练习题,故它的对立事件为做完0,1,2套练习题,即至多做完2套练习题.【变式训练】下列说法正确的是()A.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大B.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D
3、.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件【解析】选D.如果A事件包含B事件,则事件A,B中至少有一个发生的概率就是A事件的概率,显然A,B错;互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件,所以C错D对.3.(2014长春高二检测)从某班学生中任找一人,如果该同学身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在160,175(单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【解题指南】事件“身高小于160cm”“身高在160,175”及“身高超过175cm”为互斥事件,且概率之和为1.【解析】选B.所求概率为1-0.2-
4、0.5=0.3.4.(2014长沙高一检测)从1,2,3,9中任取两数,其中:恰有一个偶数和恰有一个奇数;至少有一个奇数和两个都是奇数;至少有一个奇数和两个都是偶数;至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()A.B.C.D.【解析】选C.从19中任取两数,有以下三种情况:(1)两个均为奇数.(2)两个均为偶数.(3)一个奇数和一个偶数,故选C.5.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03,则抽验一件是正品(甲级品)的概率为()A.0.08B.0.95C.0.97D.0.92【解析】选D.因为由题意知
5、本产品包含正品和次品两种情况,“一件产品是正品”和“一件产品是次品”这两个事件是对立事件,产品是次品的概率为0.05+0.03=0.08,所以产品是正品的概率是1-0.08=0.92.6.(2013安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.从五人中录用三人包含的基本事件为甲、乙、丙,甲、乙、丁,甲、乙、戊,甲、丙、丁,甲、丙、戊,甲、丁、戊,乙、丙、丁,乙、丙、戊,乙、丁、戊,丙、丁、戊共10种,其中甲、乙两人仅有1人被录用的概率P1=,甲、乙两人都被录用的概率P2=,所以所求概率为P=P1+
6、P2=.二、填空题(每小题4分,共12分)7.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为50%,那么甲不输的概率是_.【解析】甲不输就是甲获胜或者下成和棋,而两者为互斥事件,所以甲不输的概率是0.3+0.5=0.8.答案:0.88.(2014连云港高二检测)事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=_.【解析】因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=1-=.又因为P(A)=2P(B),所以P(A)+P(A)=,所以P(A)=,所以P()=1-P(A)=1-=.答案:【误区警示】本题易发生对“事件A,B都不发生”的对立事件的
7、错误理解或找不出P(A)与P(B)的关系导致问题无法求解.事实上,“事件A,B都不发生”的对立事件为“事件A发生或事件B发生”.9.(2014合肥高二检测)某战士射击一次中靶的概率为0.95,中靶环数大于5的概率为0.75,则中靶环数大于0且小于6的概率为_(只考虑整数环数).【解析】因为某战士射击一次“中靶的环数大于5”(事件A)与“中靶的环数大于0且小于6”(事件B)是互斥事件,P(A+B)=0.95.所以P(A)+P(B)=0.95,所以P(B)=0.95-0.75=0.2.答案:0.2【变式训练】从一批苹果中任取一个,其质量小于200g的概率是0.10,质量不小于300g的概率是0.1
8、2,那么质量在200,300)g范围内的概率是_.【解析】事件“质量在200,300)g范围内”的对立事件是“质量小于200g或质量不小于300g”,因为“质量小于200g”与“质量不小于300g”互斥,所以“质量小于200g或质量不小于300g”的概率为0.10+0.12=0.22,又由对立事件的概率公式得质量在200,300)g范围内的概率为1-0.22=0.78.答案:0.78三、解答题(每小题10分,共20分)10.口袋中有大小一样的6只球,其中4只红球,2只黄球,从中摸出2只球,求两只球颜色相同的概率.【解析】从6只球中任意取2只球含有的基本事件总数为15.记:“从6只球中任意取2只
9、球颜色相同”为事件A,“从6只球中任意取2只红球”为事件B,“从6只球中任意取2只黄球”为事件C,则A=B+C,因为P(B)=,P(C)=,所以P(A)=P(B+C)=+=,所以从6只球中任意取2只球颜色相同的概率为.【变式训练】经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:排队等候人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)至少3人排队等候的概率是多少?(2)有人排队等候的概率是多少?【解析】记“有0人等候”为事件A,“有1人等候”为事件B,“有2人等候”为事件C,“有3人等候”为事件D,“有4人等候”为事件E,“有5人及5人以上等候”为事件F
10、,则易知A,B,C,D,E,F两两互斥,(1)“记至少3人排队等候”为事件G,则P(G)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(2)记“有人排队等候”为事件H,则“没有人排队等候”为事件,P(H)=1-P()=1-0.1=0.9.11.(2014唐山高二检测)向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一军火库的概率为0.025,炸中第二、三军火库的概率各为0.1,只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.【解析】设A,B,C分别表示炸弹炸中第一、第二及第三军火库这三个事件,D表示军火库爆炸,已知P(A)=0.025,P(B)=P(C)=
11、0.1,其中A,B,C是互斥事件,因为只投掷了一枚炸弹,故不可能同时炸中两个及以上的军火库,故有P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.一、选择题(每小题3分,共12分)1.盒子里有大小相同的3个红球,2个白球,从中任取2个,颜色不同的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.易知共有10种不同结果,其中颜色相同的有4种,因此颜色不同的概率为1-=.2.(2014西安高二检测)下列四个说法:对立事件一定是互斥事件;A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B);若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;事件A,B
12、满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件,其中错误说法的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.所给的四种说法中:正确;成立需A与B互斥;中可能还会涉及其他事件;中两个事件可能并不是在一个试验中获得的或事件A,B的交集不为空集,故不正确,故选D.【变式训练】(2013北京高一检测)从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少1个白球,都是白球B.至少1个白球,至少1个红球C.至少1个白球,都是红球D.恰好1个白球,恰好2个白球【解析】选D.选项A,B中不是互斥事件,选项C中是对立事件.选项D中是互斥事件,但不是对立事件.3.(2014黄冈高
13、二检测)如果事件A,B互斥,记,分别为事件A,B的对立事件,那么()A.A+B是必然事件B.+是必然事件C.与一定互斥D.与一定不互斥【解析】选B.用Venn图解决此类问题较为直观,如图所示,+是必然事件,故选B.4.(2014开封高一检测)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列情况中互斥而不对立的两个事件为()A.至少有一个红球,至少有一个白球B.恰有一个红球,都是白球C.至少有一个红球,都是白球D.至多有一个红球,都是红球【解析】选B.对于A,至少有一个红球中包含一个红球,另一个为白球;至少有一个白球中包含一个白球,另一个为红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,恰
14、有一个红球,则另一个必是白球;与“都是白球”是互斥事件,而任选两球还有“都是红球”的情形,故两事件不是对立事件;对于C,至少有一个红球为“都是红球”或“一红一白”与“都是白球”显然是对立事件.对于D,至多有一个红球为“都是白球”或“一红一白”,与“都是红球”是对立事件,故选B.【变式训练】一个战士一次射击,命中环数大于8,大于5,小于4,小于7,这四个事件中,互斥事件有()A.2对B.4对C.6对D.3对【解析】选D.命中环数大于8与命中环数小于4互斥,命中环数大于8与命中环数小于7互斥,命中环数大于5与命中环数小于4互斥.二、填空题(每小题4分,共8分)5.口袋内装有大小相同的红球、白球和黑
15、球共100个,其中红球有45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是_.【解题指南】可以先利用对立事件求解出从口袋中摸出一个球是“白球或黑球”的概率,再求出摸出黑球的概率.【解析】由题意可知,口袋中白球和黑球共有55个,即从口袋中摸出一个球,摸出“白球或黑球”的概率是0.55,“摸出白球”和“摸出黑球”又是互斥事件,所以由互斥事件概率加法公式可知摸出黑球的概率为0.55-0.23=0.32.答案:0.326.为维护世界经济秩序,我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义,并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平,其中21
16、%的进口商品恰好5年关税达到要求,18%的进口商品恰好4年关税达到要求,其余进口商品将在3年或3年内达到要求,则进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率为_.【解析】设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A,“不到4年达到要求”为事件B,则“进口汽车在不超过4年的时间关税达到要求”是事件A+B,而A,B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.18+(1-0.21-0.18)=0.79.答案:0.79【一题多解】设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M,则为“进口汽车恰好5年关税达到要求”,所以P(M)=1-P()=1-0.21=0.79.答案:0.79【拓展提升】
17、求多个事件至少一个发生的概率的两种方法(1)分解成若干个互斥事件的和事件,利用概率加法公式求解.(2)利用对立事件求解,转换为对立事件的概率问题.三、解答题(每小题10分,共20分)7.某射手在一次训练射击中,射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13,计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或7环的概率.(2)至少射中7环的概率.(3)不够8环的概率.【解析】记在一次射击中,事件“射中10环”为A,“射中7环”为B,则“射中10环或7环”为A+B,因为A和B互斥,所以(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.24+0.16=0.4.
18、(2)记事件“射中7环以下”为C,则“至少射中7环”为,由对立事件概率公式可得“至少射中7环”的概率为P()=1-P(C)=1-0.13=0.87.(3)记事件“不够8环”为D,则D包含事件B,C,又B与C互斥,所以P(D)=P(B)+P(C)=0.16+0.13=0.29.【方法技巧】解决复杂概率问题的策略(1)必须分清事件是否互斥,只有互斥事件才能用概率加法公式.(2)所求事件必须是几个互斥事件的和.(3)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求解时,可转化为求其对立事件的概率.8.有编号为1,2,3的三个白球,编号为4,5,6的三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两
19、个球.(1)求取得的两个球颜色相同的概率.(2)求取得的两个球颜色不相同的概率.【解析】从六个球中取出两个球的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共计15个基本事件.(1)记事件A为取出的两个球是白球,则这个事件包含的基本事件是(1,2),(1,3),(2,3),共计3个基本事件,故P(A)=.记取出的两个球是黑球为事件B,同理可得P(B)=.记事件C为取出的两个球的颜色相同,则C=A+B,且A,B互斥,根据互斥事件的概率加法公式,得P(
20、C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=.(2)记事件D为取出的两个球的颜色不相同,则事件C,D对立,根据对立事件概率之间的关系,得P(D)=1-P(C)=1-=.【变式训练】(2014陕西工大附中高二检测)某校有教职工130人,对他们进行年龄状况和受教育情况(只有本科和研究生两类)的调查,其结果如图:本科研究生35岁以下a35355025b50岁以上42(1)随机抽取一人,是35岁以下的概率为,求a,b的值.(2)从50岁以上的6人中随机抽取两人,求恰好有一位是研究生的概率.【解题指导】(1)先根据已知条件“随机抽取一人,是35岁以下的概率为”,得到=,解出a的值,再由总人数减去已知的所有的
21、人数即是未知的b的值.(2)将50岁以上的6人进行编号,列举出所有满足“从这6人中任取2人”和“其中恰好有一位是研究生”的基本事件的个数,然后求出“从50岁以上的6人中随机抽取两人,恰好有一位是研究生”的概率.【解析】(1)由已知得:=,解得a=50,故b=130-(50+35+25+4+2)=14,即b=14.(2)将50岁以上的6人进行编号:四位本科生为:1,2,3,4,两位研究生为5,6.从这6人中任取2人共有15种等可能发生的基本事件,分别为:12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,其中恰好有一位研究生的有8种,分别为15,16,25,26,35,36,45,46,故所求的概率为:P=.关闭Word文档返回原板块