1、 数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A（1,2） B（1,3） C（-1,2） D（-1,3）2.若命题，则是（ ）A， B，C， D，3. 已知，则的值是（ ）A B C D4.圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为（ ）A1 B2 C D5. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的最大值为（ ）A1 B2 C3 D06.从一个棱长为1 的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为（ ）A B C D7.某学校一共排7节课（其中上午4节，下午3节
2、），某教师某天高三年级1班和2班各有一节课，但他要求不能连排2节课（其中上午第4节和下午第1节不算连排），那么该教师这一天的课的所有可能的排法种数共有（ ）A16 B15 C32 D308.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）A3 B C D9.如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ）A BC D10. 已知函数，若对恒成立（其中是自然对数的底数），则的取值范围是（ ）A. B（-1,0） C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 复数（是虚数单位）的虚部是_.12.
3、在二项式的展开式中，常数项的值是_.（用具体数字作答）13. 下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中，）来近似描述，则该港口在11:00的水深为_.14.若直线与圆交于两点（其中为坐标原点），则的最小值为_.15. 函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，为两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题：存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；函数图像上两点与的横坐标分别为1,2，则 “曲率” ；函数图像上任意两点之间 的“曲率” ；设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是.其中正确命题的序号为_
4、(填上所有正确命题的序号).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （本小题满分12分）设等比数列的前项和为，已知，.()求数列的通项公式；（）设，为数列的前项和，求使成立的的值.17. （本小题满分12分）若对采用如下标准：某市环保局从180天的市区监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（）从这10天的数据中任取3天的数据，记表示空气质量达到一级的天数，求的分布列；（）以这10天的日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级?18. （本小题满分12分）中，角所对的边
5、分别为，已知.()求的值；（）若是上的点，已知，求的值.19. （本小题满分12分）如图，在空间多面体中，四边形为直角梯形，是正三角形，.()求证：平面平面；（）求二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆过点，其离心率为.()求椭圆的方程；（）设椭圆的右顶点为，直线交于两点（异于点），若在上，且，证明直线过定点.21. （本小题满分12分）已知函数，（其中，是自然对数的底数）.（）若关于的方程有唯一实根，求的值；（）若过原点作曲线的切线与直线垂直，证明：；（）设，当时，恒成立，求实数的取值范围.泸州市高2013级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）（参考答案及评分意见）一、选择题1
6、. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.二、填空题11.1； 12.-160； 13.4； 14.4； 15.三、简答题16. （）因为，当时，1分则；2分当时，3分所以4分，5分综上可得：数列的通项公式为或；6分所以；8分当时，9分故数列为等差数列，所以11分由，得：，所以；综上知，或1012分17.解：（）的可能取值为0,1,2,3，1分则，3分，4分，5分，6分所以，的分布列为：7分（）由已知可得总体容量，空气质量达到一级的天数，8分因为这10天中日均值空气质量达到一级的频率为，9分所以180天中日均值空气质量达到一级的概率为；11分设为180天中每天空气质量达到一级的
7、天数，则，因此180天中空气质量达到一级的天数为72天.12分18. （）因为，所以，2分所以，4分所以，因为，所以，5分因为，即；6分（）由余弦定理：，所以，7分因为且，所以，8分因为，所以，9分所以10分11分12分19. 证明：（）因为，所以，1分所以,2分因为,所以平面，4分因为平面，所以平面平面，6分法一：（）取中点，连接，过作，过作，连接，所以是二面角的平面角，7分设，在中，所以，在中，所以，因为，所以，8分在中，所以，因为，所以,9分所以，10分过作，则是中点，所以，11分在中，所以，即二面角的余弦值为12分法二：（）过作，过作，连接，则是正方形，因为，所以，所以是梯形，8分过作
8、，连接，因为，平面，所以，即，则是二面角的平面角，10分设，则，在，,所以，所以，11分所以二面角的余弦值为12分法三：（）过点作平面，由（）知：平面平面，所以平面，7分以为原点，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，因为，且，所以，8分，设平面的法向量为，则，取，9分同理可得平面的法向量，10分所以，因为二面角是钝角，所以其余弦值是12分20.解：（）由已知得：3分解之得：，所以椭圆的方程；4分（）因为，所以，所以，即6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程消去整理得：，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，且，8分设，因为，所以，即：，9分所以，10分整理得：，所以或，均
9、满足，11分当时，直线的方程为，直线过定点；12分当直线的斜率不存在时，也符合，当时，直线的方程为，直线过定点，不合题意；综上知，直线过定点13分21.解：（）因为，所以，设，则，1分当时，在上单调递增，在上单调递减，2分则，因为方程有唯一根，所以，且，3分故，所以；4分（）因为过原点所作曲线的切线与直线垂直，所以切线的斜率为，且方程为.设与曲线的切点为，所以，5分所以，且，6分令，则，所以在（0,1）上单调递减，在上单调递增.若，因为，所以，7分而在上单调递减，所以.若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）.8分综上可知，；9分（）因为，所以.当时，因为在上递增，所以，10分所以在上递增，恒成立，符合题意.11分当时，因为在上递增，12分因为，则存在，使得.所以在上递减，在上递增，又时，所以不恒成立，不合题意.13分综合可知，所求实数的取值范围是14分