1、2015-2016学年山东省日照一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合M=x|x24x0，N=x|mx5，若MN=x|3xn，则m+n等于（）A9B8C7D62下列命题是假命题的是（）Ax（0，），xsinxBx0R，lgx0=0Cx0R，sinx0+cosx0=2DxR，3x03已知偶函数f（x）在0，2上递减，试比a=f（1），b=f（log），c=f（log2）大小（）AabcBacbCbacDcab4将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）cosx的
2、图象，则f（x）的表达式可以是（）Af（x）=2sinxBf（x）=2sinxCf（x）=sin2xDf（x）=（sin2x+cos2x）5在ABC中，已知AB=4，则ABC的面积是（）ABC或D6函数f（x）的图象如图，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（3）f（2）f（2）C0f（3）f（2）f（3）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）7已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log2x2的零点依次为a，b，c，则（）AabcBcbaCcabDbac8函数y=exx21的部分图象为（）AB
3、CD9已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x12，1，x21，2，则f（1）的取值范围是（）A，3B，6C3，12D，1210设函数y=f（x）在区间D上的导函数为f（x），f（x）在区间D上的导函数为g（x）若在区间D上，g（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间D上为“凸函数”已知实数m是常数，f（x）=，若对满足|m|2的任何一个实数m，函数f（x）在区间（a，b）上都为“凸函数”，则ba的最大值为（）A3B2C1D1二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11曲线y=和曲线y=x2围成的封闭图形的面积为12若x，y满足约束条件，若目标函数z=
4、ax+3y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为13关于函数f（x）=2sin（2x）（xR），有下列命题：y=f（x）的图象关于直线x=对称 y=f（x）的图象关于点（，0）对称若f（x1）=f（x2）=0，可得x1x2必为的整数倍y=f（x）在（，）上单调递增y=f（x）的图象可由y=2sin2x的图象向右平移个单位得到y=f（x）的表达式可改写成y=2cos（2x+），其中正确命题的序号有14已知偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x0，1时，f（x）=x若在区间1，3上，函数g（x）=f（x）kxk有3个零点，则实数k的取值范围是15已知函数f（x）=，若命题“tR，
5、且t0，使得f（t）kt”是假命题，则实数k的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共计75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知函数f（x）=sin2x+2x（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间（2）已知f（）=2+，且，求的值17设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x9xa对一切正实数x均成立（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围18某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为，x0，24，其中a是
6、与气象有关的参数，且，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，记作M（a）（1）令，x0，24，试求t的取值范围（2）试求函数M（a）（3）市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前该市的污染指数是否超标19在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（xA）cosx+sin（B+C）（xR），函数f（x）的图象关于点（，0）对称（）当x（0，）时，求f（x）的值域；（）若a=7且sinB+sinC=，求ABC的面积20设函数f（x）=alnx+，其中a为常数（）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性21已知
7、函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b（1）若函数h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x22e2（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）2015-2016学年山东省日照一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合M=x|x24x0，N=x|mx5，
8、若MN=x|3xn，则m+n等于（）A9B8C7D6【考点】交集及其运算【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：M=x|x24x0=x|0x4，N=x|mx5，若MN=x|3xn，则m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故选：C2下列命题是假命题的是（）Ax（0，），xsinxBx0R，lgx0=0Cx0R，sinx0+cosx0=2DxR，3x0【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据各函数的定义和性质判断即可【解答】解：由三角函数线可知，x对应的弧长大于正弦线，故A正确；x0=1时，lgx0=0，故B正确；sinx0+cosx0的最大值为，故C错误；由知识函数
9、的定义知，D正确3已知偶函数f（x）在0，2上递减，试比a=f（1），b=f（log），c=f（log2）大小（）AabcBacbCbacDcab【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由对数的定义，可得b=f（2），c=f（）=f（）再结合函数函数f（x）在0，2上递减，即可得到a、b、c的大小关系【解答】解：，f（x）在0，2上递减，f（）f（1）f（2）又f（x）是偶函数，f（）=f（）=f（1），即cab故选D4将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）cosx的图象，则f（x）的表达式可以是（）Af（x）=2sinxBf（x）=2sinxCf（x）=sin2xDf（x
10、）=（sin2x+cos2x）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin2x=2cosxsinx，利用条件，可得结论【解答】解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin2x=2cosxsinx，y=f（x）cosx，f（x）=2sinx故选：A5在ABC中，已知AB=4，则ABC的面积是（）ABC或D【考点】正弦定理的应用【分析】在ABC中，由余弦定理可得BC的值，再由ABC的面积为ABBCsinB 运算求得结果【解答】解：在ABC中，由余弦定
11、理可得AC2=42=+BC224BCcos30，解得 BC=4，或BC=8当BC=4时，AC=BC，B=A=30，ABC为等腰三角形，C=120，ABC的面积为 ABBCsinB=44=4当BC=8时，ABC的面积为ABBCsinB=48=8，故选：C6函数f（x）的图象如图，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（3）f（2）f（2）C0f（3）f（2）f（3）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）【考点】导数的运算；函数的图象【分析】由图象可知，函数f（x）随着x增加函数值增加的越来越慢，即导函数是减函数，据此即可得出
12、答案【解答】解：由图象可知，函数f（x）随着x增加函数值增加的越来越慢，而f（3）f（2）可看作过点（2，f（2）与点（3，f（3）的割线的斜率，由导数的几何意义可知0f（3）f（3）f（2）f（2）故选B7已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log2x2的零点依次为a，b，c，则（）AabcBcbaCcabDbac【考点】函数的零点【分析】分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而得到结果【解答】解：令函数f（x）=2x+x=0，可知x0，即a0；令g（x）=log2x+x=0，则0x1，即0b1；令h（x）=log2x2=0，可知x=4，即c=4显然abc故选A
13、8函数y=exx21的部分图象为（）ABCD【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象【分析】求函数的导数，确定函数的极值和单调性，即可判断函数的图象【解答】解：y=exx21，y=f（x）=exx2+2xex=ex（x2+2x），由f（x）=ex（x2+2x）0，得x0或x2，此时函数单调递增，由f（x）=ex（x2+2x）0，得2x0，此时函数单调递减当x=0时，函数f（x）取得极小值，当x=2时，函数f（x）取得极大值，对应的图象为A故选：A9已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x12，1，x21，2，则f（1）的取值范围是（）A，3B，6C3，12D，1
14、2【考点】简单线性规划；函数在某点取得极值的条件【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；利用参数表示出f（1）的值域，设z=2bc，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点A时，从而得到z=x+3y的最大值即可【解答】解：f（x）=3x2+4bx+c，依题意知，方程f（x）=0有两个根x1、x2，且x12，1，x21，2等价于f（2）0，f（1）0，f（1）0，f（2）0由此得b，c满足的约束条件为 满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分由题设知f（1）=2bc，由z=2bc，将z的值
15、转化为直线z=2bc在y轴上的截距，当直线z=2bc经过点（0，3）时，z最小，最小值为：3当直线z=2bc经过点C（0，12）时，z最大，最大值为：12故选C10设函数y=f（x）在区间D上的导函数为f（x），f（x）在区间D上的导函数为g（x）若在区间D上，g（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间D上为“凸函数”已知实数m是常数，f（x）=，若对满足|m|2的任何一个实数m，函数f（x）在区间（a，b）上都为“凸函数”，则ba的最大值为（）A3B2C1D1【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】通过二次求解导函数，转化当|m|2时关于m的一次函数h（m）=x2mx30恒成立，两次不等式求解
16、即可【解答】解：实数m是常数，f（x）=，f（x）=，f（x）=x2mx3，当|m|2时，f（x）=x2mx30恒成立，等价于当|m|2时关于m的一次函数h（m）=x2mx30恒成立h（2）0且 h（2）0，综上可得1x1，从而（ba）max=1（1）=2故选：B二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11曲线y=和曲线y=x2围成的封闭图形的面积为【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可【解答】解：由曲线y=和曲线y=x2可得交点坐标为（0，0），（1，1），则曲线y=和曲线y=x2围成的封闭图形的面积为S=（x2）dx=（）=
17、故答案为：12若x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+3y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为（6，3）【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可【解答】解：作出可行域如图所示，将z=ax+3y化成y=+，当12时，仅在点（1，0）处取得最小值，即目标函数z=ax+3y仅在点A（1，0）处取得最小值，解得6a3故答案为：（6，3）13关于函数f（x）=2sin（2x）（xR），有下列命题：y=f（x）的图象关于直线x=对称 y=f（x）的图象关于点（，0）对称若f（x1）=f（x2）=0，可得x1x2必为的整数倍y=f（x
18、）在（，）上单调递增y=f（x）的图象可由y=2sin2x的图象向右平移个单位得到y=f（x）的表达式可改写成y=2cos（2x+），其中正确命题的序号有【考点】命题的真假判断与应用；正弦函数的图象【分析】由三角函数的图象和性质，逐个选项判断可得【解答】解：由2x=k+可得x=+，kZ，当k=1时，可得函数的一条对称轴为x=，故选项正确；由2x=k可得x=+，kZ，令+=可解得k=Z，即y=f（x）的图象不关于点（，0）对称，故选项错误；函数的周期为=，若f（x1）=f（x2）=0，可得x1x2必为的整数倍，故选项错误；由2k2x2k+可得kxk+，kZ，故函数的单调递增区间为k，k+，kZ，
19、当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为，（，），故y=f（x）在（，）上单调递增，故选项正确；函数y=2sin2x的图象向右平移个单位得到y=2sin2（x）=2sin（2x）的图象，而不是f（x）=2sin（2x）的图象，故选项错误；由诱导公式可得y=2sin（2x）=2cos（2x=2cos（2x）=2cos（2x）2cos（2x+），故选项错误故答案为：14已知偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x0，1时，f（x）=x若在区间1，3上，函数g（x）=f（x）kxk有3个零点，则实数k的取值范围是（，）【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据已知条件便可画出f（x）在区间1，3上
20、的图象，而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）图象和函数y=kx+k的个数，而k便是函数y=kx+k在y轴上的截距，所以结合图形，讨论k0，k0，k=0的情况，并求出对应的k的取值范围即可【解答】解：根据已知条件知函数f（x）为周期为2的周期函数；且x1，1时，f（x）=|x|；而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）和函数y=kx+k的交点个数；（1）若k0，则如图所示：当y=kx+k经过点（1，1）时，k=；当经过点（3，1）时，k=；（2）若k0，即函数y=kx+k在y轴上的截距小于0，显然此时该直线与f（x）的图象不可能有三个交点；即这种情况不存在；（3）若k=0，得到直线y=0，显
21、然与f（x）图象只有两个交点；综上得实数k的取值范围是；故答案为：（）15已知函数f（x）=，若命题“tR，且t0，使得f（t）kt”是假命题，则实数k的取值范围是（，1【考点】特称命题【分析】由x1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，把命题“存在tR，且t0，使得f（t）kt”是假命题转化为“任意tR，且t0，使得f（t）kt恒成立”，作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x1）2（x0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k的取值范围【解答】解：当x1时，f（x）=|x32x2+x|=|x（x1）2|
22、=，当x0，f（x）=（x1）（3x1）0，f（x）是增函数；当0x1，f（x）=（x1）（3x1），f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；命题“存在tR，且t0，使得f（t）kt“是假命题，即为任意tR，且t0时，使得f（t）kt恒成立；作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x1）图象相切于点（m，lnm），则由（lnx）=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；设直线与y=x（x1）2（x0）的图象相切于点（0，0），y=x（x1）2=（x1）（3x1），则有k=1，由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x1）
23、图象相切，以及与y=x（x1）2（x0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）kt恒成立，k的取值范围是（，1故答案为：（，1三、解答题：（本大题共6小题，共计75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知函数f（x）=sin2x+2x（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间（2）已知f（）=2+，且，求的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）利用二倍角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间（2）由，得，结合，求的值【解答】解：（1）=所以最小正周期为 由得所以f（x）的单调递增区间为（2）由，得，所以所以，或（k1，k2Z）即或
24、，因为，所以17设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x9xa对一切正实数x均成立（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，由此能够求出p是真命题时，实数a的取值范围（2）若命题q为真命题时，则3x9xa对一切正实数x均成立由（，0），知q是真命题时，a0再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知或，能求出实数a的取值范围【解答】解：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，若a=0，显然不成立；若a0，解得a2故
25、如果p是真命题时，实数a的取值范围是（2，+）（2）若命题q为真命题时，则3x9xa对一切正实数x均成立x03x13x9x（，0）所以如果q是真命题时，a0又p或q为真命题，命题p且q为假命题所以命题p与q一真一假或解得0a2综上所述，实数a的取值范围是0，218某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为，x0，24，其中a是与气象有关的参数，且，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，记作M（a）（1）令，x0，24，试求t的取值范围（2）试求函数M（a）（3）市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前该市的污
26、染指数是否超标【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】（1）利用正弦函数的性质，可求t的取值范围；（2）分类讨论求最值，即可求函数M（a）的解析式；（3）由（）知M（a）的最大值，它小于2，即可得出结论【解答】解：（1）由0x24得 当即x=0时tmin=0当即x=18时所以t的取值范围是（2）令，当时，即时，当时，即时，所以（3）当时，易知M（a）单调递增，所以当时，由M（a）=0得当时，M（a）0，M（a）单调递增当时，M（a）0M（a）单调递减所以函数，所以没有超标答：目前该市的污染指数没有超标19在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（xA）cosx+
27、sin（B+C）（xR），函数f（x）的图象关于点（，0）对称（）当x（0，）时，求f（x）的值域；（）若a=7且sinB+sinC=，求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（）运用两角差的正弦公式和诱导公式，结合二倍角公式，化简f（x），再由对称性，计算可得A，再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到值域；（）运用正弦定理和余弦定理，可得bc=40，再由面积公式即可计算得到【解答】解：（）f（x）=2sin（xA）cosx+sin（B+C）=2（sinxcosAcosxsinA）cosx+sinA=2sinxcosxcosA2cos2xsinA+sinA=sin2xcosAcos2x
28、sinA=sin（2xA），由于函数f（x）的图象关于点（，0）对称，则f（）=0，即有sin（A）=0，由0A，则A=，则f（x）=sin（2x），由于x（0，），则2x（，），即有sin（2x）1则值域为（，1；（）由正弦定理可得=，则sinB=b，sinC=c，sinB+sinC=（b+c）=，即b+c=13，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，即49=b2+c2bc=（b+c）23bc，即有bc=40，则ABC的面积为S=bcsinA=40=1020设函数f（x）=alnx+，其中a为常数（）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单
29、调性【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为yf（1）=f（1）（x1），代入计算即可（）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a0，a0，a三种情况分别讨论即可【解答】解：，（）当a=0时，f（1）=，f（1）=0曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=（x1）（）（1）当a0时，由x0知f（x）0，即f（x）在（0，+）上单调递增；（2）当a0时，令f（x）0，则0，整理得，ax2+（2a+2）x+a0，令f（x）0，则0，整理得，ax2+（2a+2）x
30、+a0以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a0.，对称轴方程当a时，0，g（x）0恒成立（x0）当a0时，此时，对称轴方程0，g（x）=0的两根一正一负，计算得当0x时，g（x）0；当x时，g（x）0综合（1）（2）可知，当a时，f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增21已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b（1）若函数h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx图象的切线，求a+b的最小值；
31、（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x22e2（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+）上单调递增，可得对x0，都有h（x）0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=（t）=lnt+t2t1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0x1x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，
32、从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+）上单调递增，然后结合又得到，即【解答】（1）解：h（x）=f（x）g（x）=，则，h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，对x0，都有，即对x0，都有，a0，故实数a的取值范围是（，0；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=（t）=lnt+t2t1，则，当t（0，1）时，（t）0，（t）在（0，1）上单调递减；当t（1，+）时，（t）0，（t）在（1，+）上单调递增，a+b=（t）（1）=1，故a+b的最小值为1；（3）证明：由题意知，两式相加得，两式相减得，即，即，不妨令0x1x2，记，令，则，在（1，+）上单调递增，则，则，又，即，令，则x0时，G（x）在（0，+）上单调递增，又，则，即2017年1月15日