1、第1讲空间几何体 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171空间几何体的体积与表面积第9题第10题第6题江苏高考对空间几何体的考查，一般是填空题，属中档题试题主要来源于课本，或略高于课本 命题的重点是体积计算预计2020年命题仍会坚持这一方向多面体与球，折叠与展开问题是江苏高考的冷点，但复习时仍要关注2多面体与球3折叠与展开1必记的概念与定理(1)棱柱的性质；(2)正棱锥的性质；(3)正棱台的性质；(4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系(5)圆柱、圆锥、圆台的性质；(6)球的截面性质2记住几个常用的公式与结论(1)柱体、锥体
2、、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)；S球表4R2(R为球的半径)(2)柱体、锥体、台体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；V台(SS)h(S，S分别为上下底面面积，h为高)；V球R3(R为球的半径)(3)正方体的棱长为a，球的半径为R，正方体的外接球，则2Ra；正方体的内切球，则2Ra；球与正方体的各棱相切，则2Ra(4)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R(5)正四面体的外接球与内切球的半径之比
3、为313需要关注的易错易混点(1)侧面积与全面积的区别(2)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决(3)折叠与展开的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性(4)求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理空间几何体的体积与表面积典型例题 (1)(2019高考江苏卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是_(2)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_【解析】(1)因为
4、长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，所以CC1S四边形ABCD120，又E是CC1的中点，所以三棱锥EBCD的体积VEBCDECSBCDCC1S四边形ABCD12010(2)设新的底面半径为r，由题意得524228r24r28，所以r27，所以r【答案】(1)10(2)涉及柱、锥、台、球及其简单几何体(组合体)的侧面积(全面积)和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用对点训练1(2018高考江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶
5、点的多面体的体积为_解析 正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是，则该正八面体的体积为()22答案 2(2019苏锡常镇四市高三调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若，则的值为_解析 由题意知，V1a3，S16a2，V2r3，S2r2，由得，得ar，从而答案 3(2019江苏省高考名校联考(八)在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于_解析 设圆锥的底面半径为r，
6、球的半径为R，则圆锥的母线长为2r，高为r由题意可知r2r4R2，即rR所以()3答案 多面体与球典型例题 已知四棱锥SABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于1616，则球O的体积等于_【解析】由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥因为该四棱锥的表面积等于1616，设球O的半径为R，则AC2R，SOR，如图，所以该四棱锥的底面边长ABR，则有(R)24R 1616，解得R2，所以球O的体积是R3【答案】求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过
7、作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的对点训练4如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_解析 设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r、高为2r，所以答案 5(2019无锡模拟)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_解析 设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r，由题意知4r212，所以r23，又2a2h2(2r)212，所以a26，所以正四棱柱的体积Va2hh，则V6h2，由V0，得0h2，由V2
8、，所以当h2时，正四棱柱的体积最大，Vmax8答案 2折叠与展开典型例题 (2019扬州期末)如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为_【解析】如图，取BD的中点E，BC的中点O，连结AE，OD，EO，AO由题意，知ABAD，所以AEBD由于平面ABD平面BCD，AEBD，所以AE平面BCD因为ABADCD1，BD，所以AE，EO所以OA在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为所以该球的体积V【答案】 解决折叠问题的关键是
9、搞清楚处在折线同一个半平面的量是不变的，然后根据翻折前后图形及数量关系的变化，借助立体与平面几何知识，即可求解对点训练6如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC，则五面体ABCDEF的体积为_解析 由BEOA，BEOC知BE平面AOC，同理BE平面FOD，所以平面AOC平面FOD，故AOCFOD是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥BAOC和EFOD为大小相同的三棱锥，所以VABCDEF2VBAOCVAOCFOD2()21()224答案 47已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于_解析 设矩形的两邻边长
10、度分别为a，b，则ab8，此时2a2b48，当且仅当ab2时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是42216答案 161(2019南京、盐城高三模拟)设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_解析 根据题意，设正方体的棱长为a，则有a3(2)2 ，解得a2答案 22(2019苏州期末)已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_解析 设圆锥的底面半径为r，高为h，则22r，故r1，故h，故圆锥的体积为12答案 3(2019苏锡常镇模拟)平面截
11、半径为2的球O所得的截面圆的面积为，则球心O到平面的距离为_解析 设截面圆的半径为r，则r2，解得r1，故d答案 4表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_解析 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则rlr23，l2r解得r1，即直径为2答案 25(2019南京、盐城模拟)若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为_解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由侧面积是底面积的2倍得rl2r2，故l2r2，因此高为h，故圆锥的体积为Vr2h12答案 6(2019苏锡常镇调研)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB2，A
12、D3，PA4，点E为棱CD上一点，则三棱锥EPAB的体积为_解析 因为VEPABVPABESABEPAABADPA2344答案 4 7如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_ cm3解析 连结AC交BD于O，在长方体中，因为ABAD3，所以BD3且ACBD又因为BB1底面ABCD，所以BB1AC又DBBB1B，所以AC平面BB1D1D，所以AO为四棱锥ABB1D1D的高且AOBD因为S矩形BB1D1DBDBB1326，所以VABB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3)答案 68已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个
13、四棱锥的外接球的表面积为_解析 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为36，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于43236答案 369(2019江苏省高考名校联考信息卷(五)如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间为高是4的圆柱，上下两端均是半径为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为_解析 设实心球的半径为R，则由题意知该实心金属几何体的体积V16R3，得R，所以实心球的直径为2R2答案 210(2019江苏省高考名校联考(五)
14、如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，且AA12AB，若三棱锥PBCD的体积与正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧面积的数值之比为124，则VABCDA1B1C1D1_解析 设ABa，则AA12a，所以VPBCDa22aa3，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧面积为S42a28a2，所以，即a1，所以VABCDA1B1C1D12a32答案 211(2019苏州市第一学期学业质量调研)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥所得的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为_解析 如图，记挖
15、去的正三棱锥为正三棱锥PABC，则该正三棱锥的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上设BC的中点为D，连结AD，过点P作PO平面ABC，交AD于点O，则AOPO2，AD3，ABBC2，所以SABC233，所以挖去的正三棱锥的体积VSABCPO322答案 212(2019南京模拟)如图，已知ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD2，将ABC沿AD折成60的二面角，连结BC，则三棱锥CABD的体积为_ 解析 因为BDAD，CDAD，所以BDC即为二面角BADC的平面角，即BDC又因为BDDC2，所以三角形BDC面积为22又因为AD平面BDC，所以VADSDBC答案 13如图，
16、在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_解析 如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连结DM，CN，可证得DMEF，CNEF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积为VABCDEFVAMDBNCVEAMDVFBNC因为NF，BF1，所以BN作NH垂直BC于点H，则H为BC的中点，则NH所以SBNCBCNH1所以VFBNCSBNCNF，VEAMDVFBNC，VAMDBNCSBNCMN所以VABCDEF答案 14(2019江苏四星级学校联考)如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一
17、动点，PA圆O所在的平面，且PAAB2，过点A作平面PB，分别交PB，PC于E，F，则三棱锥PAEF的体积的最大值为_解析 在RtPAB中，PAAB2，所以PB2，因为AEPB，所以AEPB，所以PEBE因为PA底面ABC，得PABC，ACBC，PAACA，所以BC平面PAC，可得AFBC因为AFPC，BCPCC，所以AF平面PBC因为PB平面PBC，所以AFPB因为AEPB且AEAFA，所以PB平面AEF，结合EF平面AEF，可得PBEF因为AF平面PBC，EF平面PBC所以AFEF所以在RtAEF中，设AEF，则AFsin ，EFcos ，所以SAEFAFEFsin cos sin 2，所以当sin 21，即45时，SAEF有最大值为，此时，三棱锥PAEF的体积的最大值为答案