1、考点测试51圆与方程高考概览高考在本考点中常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中等难度考纲研读1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系3能用直线和圆的方程解决一些简单的问题4初步了解用代数方法处理几何问题的思想一、基础小题1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21答案A解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知 1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.故选A.2若点P(1,1
2、)为圆C：(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A2xy30 Bx2y10Cx2y30 D2xy10答案D解析圆心C(3,0)，kPC，则kMN2，所以弦MN所在直线的方程为y12(x1)，即2xy10.故选D.3直线axby0与圆x2y2axby0的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不能确定答案B解析将圆的方程化为标准方程得22，圆心坐标为，半径r，圆心到直线axby0的距离dr，圆与直线的位置关系是相切故选B.4已知O1：(x3)2y24，O2：x2(y4)2r2(r0)，则“r3”是“O1与O2相切”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分
3、也不必要条件答案A解析由题意知，O1的圆心为O1(3,0)，半径为2，O2的圆心为O2(0,4)，半径为r.若O1与O2相切，则|O1O2|r2或|O1O2|r2|，解得r3或7，所以“r3”是“O1与O2相切”的充分不必要条件故选A.5设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90答案B解析当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x0时，弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx3，由弦长为2，半径为2可知
4、，圆心到该直线的距离为1，从而有1，解得k，综上，直线l的方程为x0或3x4y120，故选B.6若圆x2y2a2与圆x2y2ay60的公共弦长为2，则a的值为()A2 B2 C1 D1答案B解析设圆x2y2a2的圆心为O，半径r|a|，将x2y2a2与x2y2ay60联立，可得a2ay60，即公共弦所在的直线方程为a2ay60，原点O到直线a2ay60的距离为，根据勾股定理可得a232，解得a2.故选B.7若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l：axby0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是()A2，1 B2，2C. D0，)答案B解析圆x2y24x4y100可化为(x2)2(
5、y2)218，则圆心坐标为(2,2)，半径为3.由圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l：axby0的距离为2可得，圆心到直线l：axby0的距离d32，即，则a2b24ab0，若a0，则b0，不符合题意，故a0且b0，则可化为120，由于直线l的斜率k，所以120可化为120，解得k2，2 ，故选B.8已知aR，直线l1：x2ya2和直线l2：2xy2a1分别与圆E：(xa)2(y1)29相交于点A，C和点B，D，则四边形ABCD的面积是_答案18解析依题意，圆E的圆心坐标为E(a,1)，发现El1，El2，即直线l1，l2都过圆心，故|AC|BD|6.设直线l1的斜率为k1，直
6、线l2的斜率为k2，由k1k21，得l1l2.故所求面积为6218.二、高考小题9(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3答案A解析直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，A(2,0)，B(0，2)，则|AB|2.点P在圆(x2)2y22上，圆心为(2,0)，圆心到直线xy20的距离d12，故点P到直线xy20的距离d2的范围为，3，则SABP|AB|d2d22,6，故选A.10(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos，sin)到直线xmy20的距离当，m变化时
7、，d的最大值为()A1 B2 C3 D4答案C解析cos2sin21，P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又xmy20表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(1,0)到直线x2的距离即为d的最大值故选C.11(2019浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m_，r_.答案2解析根据题意画出图形，可知A(2，1)，C(0，m)，B(0,3)，则|AB|2，|AC|，|BC|m3|.直线2xy30与圆C相切于点A，BAC90，|AB|2|AC|2|BC|2.即204(m1)2(m3)2，解得m2.因此r|AC|.12(2018
8、全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.答案2解析根据题意，圆的方程可化为x2(y1)24，所以圆的圆心为(0，1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离d，所以|AB|22.13(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上的第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_答案3解析解法一：设A(a,2a)，a0，则C，圆C的方程为2(ya)2a2，由得(5a，2a)2a24a0，a3或a1，又a0，a3，点A的横坐标为3.解法二：由题意易得BAD45.设直线DB的倾斜角为，则
9、tan，tanABOtan(45)3，kABtanABO3.AB的方程为y3(x5)，由得xA3.14(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_答案5，1解析解法一：因为点P在圆O：x2y250上，所以设P点坐标为(x，)(5x5)因为A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x,6)或(x,6)因为20，先取P(x, )进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5 .当2x50，即x时，上式恒成立；当2x50，即x时，(2x5)250x2，解得5x1，故x1.同理可
10、得P(x，)时，x5.又5x5，所以5x1.故点P的横坐标的取值范围为5，1解法二：设P(x，y)，则(12x，y)，(x，6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如图，作圆O：x2y250，直线2xy50与O交于E，F两点，P在圆O上且满足2xy50，点P在上由得F点的横坐标为1.又D点的横坐标为5，P点的横坐标的取值范围为5，115(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.答案4解析由题意可知直线l过定点(3，)，该定点在圆x2y212上，不妨设点A(3，)，由于|A
11、B|2，r2，所以圆心到直线AB的距离为d3，又由点到直线的距离公式可得d3，解得m，所以直线l的斜率km，即直线l的倾斜角为30. 如图，过点C作CHBD，垂足为H，所以|CH|2，在RtCHD中，HCD30，所以|CD|4.三、模拟小题16(2019宜昌模拟)已知圆C：x2y2kx2yk2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为()A B(1，1)C(1，1) D(0，1)答案D解析圆C的方程可化为2(y1)2k21.所以当k0时圆C的面积最大故圆心C的坐标为(0，1)故选D.17(2019广州市三校联考)已知点P(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线
12、，直线l的方程为axbyr2，那么()Aml，且l与圆相交 Bml，且l与圆相切Cml，且l与圆相离 Dml，且l与圆相离答案C解析点P(a，b)(ab0)在圆内，a2b2r，l与圆相离故选C.18(2019凌源联考)已知直线l：xy10截圆：x2y2r2(r0)所得的弦长为，点M，N在圆上，且直线l：(12m)x(m1)y3m0过定点P，若PMPN，则|MN|的取值范围为()A2，2 B2，2C， D，答案D解析依题意得2，解得r2.因为直线l：(12m)x(m1)y3m0过定点P，所以P(1，1)，设MN的中点为Q(x，y)，则|OM|2|OQ|2|MQ|2|OQ|2|PQ|2，即4x2y
13、2(x1)2(y1)2，化简可得22，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为，|MN|的取值范围为，故选D.19(2020江苏七市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆x2y24上，且AB2，点P(3，1)，()16，设AB的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为_答案1，解析设AB的中点为M(x0，y0)，由勾股三角形知|OM|，即xy2，又()16，则216，即8，(3,1)(x03，y01)8，将联立得x01，.20(2019河北联考)在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，a)，B(3，a4)，若圆x2y29上有且仅有四个不同的点C，使得ABC的面积为5
14、，则实数a的取值范围是_答案解析如图，AB的斜率k，|AB|5，设ABC的高为h，ABC的面积为5，S|AB|h5h5，即h2，直线AB的方程为yax，即4x3y3a0.若圆x2y29上有且仅有四个不同的点C，则圆心O到直线4x3y3a0的距离d，则应该满足dRh321，即1，得|3a|5，得a0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x2
15、1).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.4(2017全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因
16、此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB，故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为22.5(2016江苏高考)如
17、图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围解圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y00)，由题意，得解得圆C的标准方程为(x2)2y24.(2)由消去y整理，得2x22(m2)xm20.直线yxm与圆C相交于M，N两点，4(m2)28m20，解得22m0，m2(m1)(2m)(m1)20，整理，得m2m10，解得m.又22m22，22m或m22.故实数m的取值范围是.