1、时间：45分钟基础组1.设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中，其逆命题不成立的是()A当c时，若c，则B当b时，若b，则C当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abD当b，且c时，若c，则bc答案B解析A的逆命题为：当c时，若，则c，由线面垂直的性质知c；B的逆命题为：当b时，若，则b，显然错误；C的逆命题为：当b，且c是a在内的射影时，若ab，则bc，由三垂线的逆定理知bc；D的逆命题为：当b，且c时，若bc，则c，由线面平行的判定定理可得c.故选B.2对于空间的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，n，则mn
2、 D若m，n，则mn答案D解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确3已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面答案D解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.4已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面M，b平面N，MNc.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若a
3、b，ac，则必有MN.其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3答案C解析命题正确，命题错误其中命题中a和b有可能垂直；命题中当bc时，平面M，N有可能不垂直，故选C.5. 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()点击观看解答视频A. B.C. D.答案B解析如图，连接A1B.由题意知A1D1綊BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形，故D1CA1B.所以A1BE为异面直线D1C与BE所成的角不妨设AA12AB2，则A1E1，BE，A1B，在A1BE中，cosA1BE，故选B.6. 设a，b，c是空间中的三条直线，下面
4、给出四个命题：点击观看解答视频若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交， 则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)答案解析由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错7如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_答案解析由于ACA1C1，所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角在BA1
5、C1中，A1B，A1C11，BC1，cosBA1C1.8如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD2AB2，EFAB，则EF与CD所成的角等于_答案30解析如图所示，设H为DA的中点，连接HF，HE，则易得FHEF.在RtEFH中，HE1，HF，HEF30，即EF与CD所成的角为30.9如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为_答案解析过F点作HFBE，过A点作EF的垂线AG，垂足为G.连接HG，HE，AH.如图，设正方形ABCD的边长为2，平面AEF平面BCDFE，且AGEF，AG平面
6、BCDFE.BEBHAEAF1，EHEF.G为EF的中点，EG，AG.又HF2，HEG90，在RtEHG中，HG.在RtAGH中，AH.HFBE，AF与BE所成的角即为AFH.在AHF中，AF1，HF2，AH，HAF90，cosAFH.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_答案90解析连接D1M，则D1M为A1M在平面DCC1D1上的射影，在正方形DCC1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，D1MDN，由三垂线定理得A1MDN.即异面直线A1M与DN所成的角为90.11在三棱锥SACB中，SABSACACB9
7、0，AC2，BC，SB，则SC与AB所成角的余弦值为_答案解析如图，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DEAB，在平面SBC内作EFSC，则异面直线SC与AB所成的角为FED，过F作FGAB，连接DG，则DFG为直角三角形由题知AC2，BC，SB，可得DE，EF2，DF，在DEF中，由余弦定理可得cosDEF.12如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.点击观看解答视频(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值解(1)在四棱锥PABCD中，PO平面ABC
8、D，PBO是PB与平面ABCD所成的角，即PBO60.在RtAOB中，AB2，BOABsin301.在RtPOB中，POOB，POBOtan60，底面菱形的面积S2222，四棱锥PABCD的体积VPABCD22.(2)如图所示，取AB的中点F，连接EF，DF.E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)在RtAOB中，AOABcos30OP，在RtPOA中，PA，EF.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE，由余弦定理得cosDEF.异面直线DE与PA所成角的余弦值为.能力组13.已知m、n为异面直线，m平面，n平面，l，则l()A与m、n都相交B与m、n至少一条
9、相交C与m、n都不相交D至多与m、n中的一条相交答案B解析若l与m、n都不相交，则lm，ln.mn与已知矛盾，故C、D不正确A中与m、n都相交，也不一定，如lm，n与l相交于一点14直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90答案C解析分别取AB，AA1，A1C1的中点D，E，F，则BA1DE，AC1EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为DEF(或其补角)，设ABACAA12，则DEEF，DF，由余弦定理得，cosDEF，则DEF120，从而异面直线BA1与AC1所成的角为60.15如图是三棱锥DABC的三
10、视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()A. B.C. D.答案A解析由题意得如图的直观图，从A出发的三条线段，AB，AC，AD两两垂直且ABAC2，AD1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE1，又可知AE1，由于OEAB，故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角在RtDAE中，DE，由于O是中点，在RtABC中可以求得AO，在直角三角形DAO中可以求得DO.在DOE中，由余弦定理得cosDOE，故所求余弦值为.16如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点(1)求证：AE与PB是异面直线；求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥AEBC的体积解(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为，A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线取BC的中点F，连接EF、AF，则EFPB，所以AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为PA1，VAEBCVEABC1.