1、广西南宁市第二中学2021届高三数学上学期10月份考试试题 文（含解析）一单选题1. 已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到，再求即可.【详解】或，则故选：A【点睛】本题主要考查集合的运算，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.2. 已知是虚数单位，复数为纯虚数，则的模等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法运算法则计算，再根据纯虚数概念得，最后根据复数模的定义得结果.【详解】因为为纯虚数，所以，从而，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧
2、和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 等比数列各项为正，成等差数列，为的前n项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设的公比为q（q0，q1），利用a3，a5，a4成等差数列结合通项公式，可得2a1q4a1q2a1q3，由此即可求得数列的公比，进而求出数列的前n项和公式，可得答案【详解】设的公比为，成等差数列，得或（舍去），.故选D.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键4. 已知a、b为不重合的直线，为平面，下列命题：（1）若ab，a，则b；（2）若a，b
3、，则ab；（3）若ab，b，则a；（4）若a，ba，则b，其中正确的有个（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】由空间中的线面关系逐个核对四个命题得出答案【详解】（1）错，若ab，a，则b或b，（2）错，若a，b，则a与b平行或异面，（3）错，若ab，b，则a或a或相交，（4）错，若a，ba，则b或b故选：A【点睛】属于基础题，考查直线与平面的位置关系，空间想象能力5. 已知0，又sin ，cos()，则sin ( )A. 0B. 0或C. D. 0或【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以 因为，所以，因为，所以，整理可得，因为，所以，所以故C正确考点：1两角和差公式
4、；2同角三角函数关系式6. 甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（ ）A. B. 2C. 8D. 【答案】D【解析】【分析】根据题目所给中位数和平均数，求得的值，根据等差中项和等比中项的性质求得的关系式，进而利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】由于甲班成绩的中位数是，乙班成绩的平均数是，结合茎叶图可知，解得.由于正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，所以，即.所以.故选D.【点睛】本
5、小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数、中位数的概念，考查等差中项、等比中项的性质，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.7. 已知分别是长方体的棱的中点，若，则四面体的外接球的表面积为( )A. 13B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】四面体的外接球就是直三棱柱DECD1FC1的外接球，根据数据求解即可.【详解】如图所示，四面体的外接球就是直三棱柱DECD1FC1，的外接球，设棱柱DECD1FC1的底DEC的外接圆圆心为G，三棱柱DECD1FC1，的外接球为O，DEC的外接圆半径r+，解得r，外接球的半径R，四面体的外接球的表面积为413故答案为13【点睛】本题考查了几何体的外接
6、球，将四面体的外接球转化为柱体的外接球是解题的关键，属于中档题8. 已知函数，则（ ）A. 的最小正周期为，最大值为B. 的最小正周期为，最大值为C. 的最小正周期为，最大值为D. 的最小正周期为，最大值为【答案】B【解析】【分析】先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，即可得到最大值，利用周期公式 求周期；【详解】由题 最大值为4 ，故选B.【点睛】本题考查了三角变换及三角函数的图象与性质，解题的关键是化成正弦型函数的标准形式9. 已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，可求出
7、点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】过向轴作垂线，设垂足为，将点的坐标代入，得，故的方程为.故选:A【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.10. 已知中，则的面积为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】由余弦定理得：，解得：，.故选：.【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理构造方程求得，属于基础题.11. 过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于点，若，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可
8、求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得，由得，点A在椭圆上，则：，整理可得：.故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)12. 已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于定义在上的偶函数在上递减，则在上递增，又，则 可华化为：，即对恒成立，则，所以
9、： 且 对同时恒成立.设，则 在上递增，在上递减，.设 ， ， 在 上递减， .综上得： 的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性及利用函数性质解决不等式问题，由于偶函数在上递减，把不等式变形为对恒成立，问题转化为恒成立，即 且 对同时恒成立.最后利导数解决恒成立问题.二填空题13. 已知向量，若，则实数_【答案】【解析】【分析】由平面向量坐标运算法则得，再由，列出方程求出的值.【详解】解：向量，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量坐标运算法则，向量平行的性质，考查运算求解能力，属于基础题.14. 一个四棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积=_.【答案】【解析】【分析】首
10、先根据题意画出三视图的直观图，再计算体积即可.【详解】该几何体的直观图，如图所示：由三视图知：底面为正方形，平面，.连接，如图所示：根据三视图可知：，所以,所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三视图的还原，同时考查四棱锥的体积，属于简单题.15. 已知，且，则_.【答案】1【解析】【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果【详解】解：，且，则 故答案为1.【点睛】本题主要考查两角差的余弦、同角基本关系式的应用，属于基础题16. 在中，角，的对边分别为，若，是锐角，且，则的面积为_【答案】【解析】【分析】由及三角变换可得，故，于是得到或，再根据可得，从而，然后根据余弦定理可求出，于是可
11、得所求三角形的面积【详解】由，得，又为三角形的内角，或，又，于是由余弦定理得即，解得，故.故答案为【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题三解答题17. 已知等差数列公差不为零，且满足：，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再解方程即可得到答案.（2）根据题意得到，再利用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题知：，解得或（舍去）.所以.（2），令其前项和为，则，得：，
12、所以【点睛】本题第一问考查等差等比数列的综合应用，第二问考查错位相减法求和，属于中档题.18. 某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照0，2)，2，4)，4，6)，6，8)，8，10分成五组，得到了如下的频率分布直方图(1)求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；(2)从4，6)，6，8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在6，8)组中的概率【答案】（1）m=0.1，平均时
13、间为5.08；（2）【解析】【分析】(1)首先根据概率之和为1即可计算出的值，然后通过计算每一组的概率乘时间并求和即可计算出平均学习时间；(2)本题首先可以通过分层抽样的相关性质来确定以及两组中所抽取的人数，然后写出从6人中抽取2人的所有可能事件以及恰有一人在组中的所有可能事件，两者相除，即可得出结果【详解】（l）由直方图可得：，所以，学生的平均学习时间：；（2）由直方图可得：中有人，中有人， 根据分层抽样，需要从中抽取人分别记为，从中抽取人分别记为，再从这人中抽取人，所有的抽取方法有共15种，其中恰有一人在组中的抽取方法有共8种，所以，从这人中抽取人，恰有人在组中的概率为【点睛】本题考查了频
14、率分布直方图的相关性质以及分层抽样的相关性质，考查了补全频率分布直方图以及利用频率分布直方图求平均数，考查了分层抽样的使用以及概率的求法，考查了推理能力，是中档题19. 在三棱柱中，为的中点.（1）证明：/平面；（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接.利用中点可得/，所以/平面.（2）取中点，连接，过点作于，连接，利用等腰三角形和射影的概念可知平面，所以，所以平面，所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积.【详解】解：（1）证明：连接交于点，连接.则为的中点，又为的中点，所以
15、/，且平面，平面，则/平面.（2）解：取的中点，连接，过点作于点，连接.因为点在平面的射影在上，且，所以平面，平面，则.设，在中，由，可得.则 .所以三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面平行的证明和三棱锥体积的计算，主要考查推理论证能力和计算能力，属于中档题.20. 已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，且（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，为坐标原点，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依题意得到方程，即可求出、，再根据，即可求出，从而得解；（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以，即可求出直线的方程，联立
16、直线与椭圆方程，设，即可求出、的坐标，从而求出，再利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后根据计算可得；【详解】解：（1）由题得，解得，因为，所以，所以椭圆的方程为（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以由（1）知，椭圆的方程为，所以，所以，从而，所以直线的方程为，即联立方程，解得或设，不妨取，所以当，；当，所以，设原点到直线的距离为，则，所以【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21. 已知函数（）.（I）若，求曲线在点处的切线方程；（II）若在上无极值点，求的值；（III）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.【答案】（1）； （2）时函数在上无
17、零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【解析】【分析】（I）由导数的几何意义,切线的斜率,先求，,利用直线方程的点斜式求解. （II）因为,所以若在上无极值点,则，即，解得. (III)讨论当时,在上的符号, 函数的单调性、极值情况,从而分析函数的图像与x轴的交点个数,得出函数的零点个数.【详解】（I）当时，所以曲线在点处切线方程为.（II），依题意有，即，解得.(III)（1）时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点.（2）时：当，函数为增函数；当，函数为减函数；当，函数为增函数.由于，此时只需判定的符号：当时，函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两
18、个零点.综上，时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、 极值，结合函数的大致图像判断零点的个数22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线（为参数）.（1）求直线及曲线的极坐标方程；（2）若曲线与直线和曲线分别交于异于原点，的两点，求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）利用代入消元和，即可求得直线和的普通方程，再利用公式即可转化为极坐标方程；（2）将曲线的极坐标方程分别代入直线和曲线的极坐标方程，求得，则.【详解】（1）直线参
19、数方程为（为参数），消去参数可得，直线的一般方程为，直线的极坐标方程为，曲线（为参数）.消去参数可得曲线的标准方程为，所以曲线的极坐标方程为.（2）将分别代入和可得，所以.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用极坐标求距离问题，属综合基础题.23. 已知函数=x+1x2.（1）求不等式1的解集；（2）若不等式x2x +m的解集非空，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由于f（x）|x+1|x2|，解不等式f（x）1可分1x2与x2两类讨论即可解得不等式f（x）1的解集；（2）依题意可得mf（x）x2+xmax，设g（x）f（x）
20、x2+x，分x1、1x2、x2三类讨论，可求得g（x）max，从而可得m的取值范围【详解】解：（1）f（x）|x+1|x2|，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为x|x1（2）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax，设g（x）f（x）x2+x由（1）知，g（x），当x1时，g（x）x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x1，g（x）g（1）1135；当1x2时，g（x）x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x（1，2），g（x）g（）1；当x2时，g（x）x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，g（x）g（2）4+2+31；综上，g（x）max，m的取值范围为（，【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题