1、江苏省泰州中学2019-2019学年度第一学期 高三数学考试试题 2019.8.31一、填空题 (请将答案填写在答题纸相应的位置)1设集合A=1，2，3，B=2，4，6，则AB=_2已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为_3某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为_4设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）f（b），则f（a）_f（b）（用“”或“”填空）5在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，1），=（0，2）若=0，=，则实数的值为_6如右图，该程序运行后输出的结果为_7由命题“存在xR，使x2+2x+m0
2、”是假命题，求得m的取值范围是（a，+），则实数a的值是_8函数f(x)=2sin()，x，0的单调递减区间单间为_9在集合x|x=中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx=的概率是_10设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是_11已知点A（1，1）和点B（1，3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=_12（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）
3、若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，所有真命题的序号为_13已知函数f（x）=，当t0，1时，f（f（t）0，1，则实数t的取值范围是_14已知函数f（x）=|x1|1|，若关于x的方程f（x）=m（mR）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是_二、解答题(本大题共6小题，共90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）求角A； （2）若a=2，
4、求ABC面积S的最大值.BADCFE16如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD平面ABE，BEBC，F为CE上的一点，且BF平面ACE （1）求证：AEBE； （2）求证：AE平面BFD17.有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距与车速和车长的关系满足：（为正的常数），假定车身长为，当车速为时，车距为2.66个车身长.(1) 写出车距关于车速的函数关系式;(2) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？18给定圆:及抛物线:,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,求直线的
5、方程.19.已知以a为首项的数列满足：(1)若06，求证：06; (2)若a，kN*，求使对任意正整数n都成立的k与a；20已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线的斜率（1）若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；（2）当 时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：江苏省泰州中学2019届高三数学摸底考试教师讲评参考一、填空题1设集合A=1，2，3，B=2，4，6，则AB=2考点：交集及其运算3794729专题：阅读型分析：直接运用交集概念求得结果解答：解：由集合A=1，2，3，B=2，4，6，所以AB=1，2，32，4，6=2故答案为2点评：本题考查了交集及其运算，是会考题型，
6、是基础题2已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为3考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求解答：解：由，得所以b=3，a=1则ab=（1）3=3故答案为3点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题3某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032考点：极差、方差与标准差专题：概率与统计分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算解答：解：数据9
7、.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数=10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032故答案为：0.032点评：本题考查方差的定义一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为，则方差S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立4设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）f（b），则f（a）f（b）（用“”或“”填空）考点：函数奇偶性的性质3481324专题：函数的性质及应用分析：根据奇函数的性质f（x）=f（x）求解解答：解：根据奇函数的性质，f（a）=f（a），f（b）=f（b）；f（a）
8、f（b），f（a）f（b），即f（a）f（b）故答案是点评：本题考查函数的奇偶性5在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，1），=（0，2）若=0，=，则实数的值为2考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量专题：计算题；平面向量及应用分析：根据向量、的坐标，得到=（3，3），设=（m，n）可得=3m+3n=0而=（m3，n+1）=，得到m3=0且n+1=2，两式联解即可得到实数的值解答：解：=（3，1），=（0，2）=（3，3）设=（m，n），可得=3m+3n=0又=（m3，n+1），=，m3=0且n+1=2将联解，可得m=3，n=3，=2故答案为：2点评：本题给出向量、的坐标，再=0且=
9、的情况下求实数的值着重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题6如图，该程序运行后输出的结果为16考点：循环结构3804980专题：阅读型分析：根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的b即可解答：解：第一次运行得：b=2，a=2，满足a3，则继续运行第二次运行得：b=4，a=3，满足a3，则继续运行第三次运行得：b=16，a=2，不满足a3，则停止运行输出b=16故答案为：16点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基
10、础题7由命题“存在xR，使x2+2x+m0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+），则实数a的值是 1考点：一元二次不等式的解法3801346专题：计算题分析：由题意知“任意xR，使x2+2x+m0”是真命题，由二次函数的性质得0，求出m的范围，结合题意求出a的值解答：解：“存在xR，使x2+2x+m0”是假命题，“任意xR，使x2+2x+m0”是真命题，=44m0，解得m1，故a的值是1故答案为：1点评：本题考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围8函数f(x)=2sin()，x，0的单调递减区间单间为考点：正弦函数的单调性3804
11、980专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由x，0z=x，利用正弦函数y=sinz在，上单调递增，即可求得答案解答：解：x，0x，令z=x，则z，正弦函数y=sinz在，上单调递增，由x得：x0函数f（x）=2sin（x）在x，0的单调递增区间为，0故答案为，0点评：本题考查正弦函数的单调性，考查整体代入思想的应用，属于中档题9在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算专题：计算题分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论解答：解：集合中共有
12、10个元素而当n=2和n=10时，故满足条件的基本事件个数为2故所取元素恰好满足方程的概率P=故答案为：点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解10设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x22y2=1考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质专题：计算题分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲
13、线中的a，b的值即可，根据双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程解答：解：椭圆+y2=1中c=1中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点双曲线中c=1，椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数双曲线的离心率为，双曲线中a=，b2=c2a2=，b=双曲线的方程为2x22y2=1故答案为2x22y2=1点评：本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用11已知点A（1，1）和点B（1，3）在曲
14、线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7考点：利用导数研究曲线上某点切线方程3794729专题：导数的综合应用分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f（1）=f（1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可解答：解：设f（x）ax3+bx2+d，f（x）=3ax2+2bx，f（1）=3a+2b，f（1）=3a2b根据题意得 3a+2b=3a2b，b=0又点A（1，1）和点B（1，3）在曲线C上，解得：a3+b2+d=7故答案为：7点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一
15、道中档题12给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）考点：命题的真假判断与应用3794729专题：证明题分析：根据面面垂直的判定定理，可判断（1）；根据平面与平面平行的判定定理，可判断（2）；根据空间直线夹角的定义，可判断（3），根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断（4）解答：解：由面面垂直
16、的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题
17、的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键13已知函数当t0，1时，f（f（t）0，1，则实数t的取值范围是考点：函数与方程的综合运用3801346专题：计算题；不等式的解法及应用分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可解答：解：因为t0，1，所以f（t）=3t1，3，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t）0，1，所以解得：，又t0，1，所以实数t的取值范围故答案为：点评：本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，
18、函数值的求法，考查计算能力14已知函数f（x）=|x1|1|，若关于x的方程f（x）=m（mR）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是（3，0）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：画出函数f（x）=|x1|1|的图象，可得方程f（x）=m（mR）恰有四个互不相等的实数根是地，m的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m的范围和二次函数的图象和性质，可得x1x2x3x4的取值范围解答：解：函数f（x）=|x1|1|的图象如下图所示：由图可知，若f（x）=m的四个互不相等的实数根，则m（0，1）且x1，x2，x3，x4分别为：x1=
19、m，x2=2m，x3=m+2，x4=m，x1x2x3x4=（m2）24m2=（m22）24（3，0）故答案为：（3，0）点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题(本大题共6小题，共90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（本小题满分14分）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）求角A； （2）若a=2，求ABC面积S的最大值.15.解：（1）由已知得 4分 又在锐角ABC中，所以A=60 7分（2）因为a=2，A=60所以 8分 而 10分BADCFE（第16
20、题） 又 14分 所以ABC面积S的最大值等于16（本小题满分14分）如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD平面ABE，BEBC，F为CE上的一点，且BF平面ACE （1）求证：AEBE； （2）求证：AE平面BFD16（1）证明：平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABE=AB，ADAB，AD平面ABE，ADAEADBC，则BCAE 3分GBADCFE又BF平面ACE，则BFAEBCBF=B，AE平面BCE，AEBE 7分（2）设ACBD=G，连接FG，易知G是AC的中点，BF平面ACE，则BFCE而BC=BE，F是EC中点 10分在ACE中，FGAE，AE平面BFD，FG平面BFD，
21、 AE平面BFD 14分17.（本题满分14分） 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距与车速和车长的关系满足：（为正的常数），假定车身长为，当车速为时，车距为2.66个车身长.(3) 写出车距关于车速的函数关系式;(4) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？17因为当时，所以， . 6分设每小时通过的车辆为，则即 ，当且仅当，即时，取最大值13分答：当时，大桥每小时通过的车辆最多14分18（本小题满分16分）给定圆:及抛物线:, 过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次 记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列
22、,求直线的方程.18解：圆的方程为,则其直径长,圆心为 ,设的方程为,即,代入抛物线方程得:,设，有, 则. 故 因此. 8分据等差，, 所以，即,，14分即：方程为或. 16分19.(本小题满分16分)已知以a为首项的数列满足：(1)若06，求证：06; (2)若a，kN，求使对任意正整数n都成立的k与a；19（1）当时，则，当时，则,故，所以当时，总有8分 （2）当时，故满足题意的N*同理可得，当或4时，满足题意的N*当或6时，满足题意的N* 当时，故满足题意的k不存在 当时，由（1）知，满足题意的k不存在 综上得：当时，满足题意的N*； 当时，满足题意的N*16分20（本小题满分16分）
23、已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线的斜率（1）若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；（2）当 时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：解：（1）由题意，,所以 2分当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值 因为函数在区间（其中）上存在极值，所以，得即实数的取值范围是 4分（2）由得，令，则 6分令，则，因为所以,故在上单调递增8分所以,从而在上单调递增, 所以实数的取值范围是 10分（3）由(2) 知恒成立, 即 12分令则，14分所以， ，,将以上个式子相加得：故 16分江苏省泰州中学2019-2019学年度第一学期 高三数学考试试题参考答案 20
24、19.8.31一、填空题1设集合A=1，2，3，B=2，4，6，则AB=22已知i是虚数单位，若=b+i(a,b)，则ab的值为33某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.0324设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）f（b），则f（a）f（b）（用“”或“”填空）5在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，1），=（0，2）若=0，=，则实数的值为26如图，该程序运行后输出的结果为167由命题“存在xR，使x2+2x+m0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+），则实数a的值是18函数f(x)=2sin()，x，0的单调
25、递减区间单间为9在集合x|x=中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx=的概率是设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x22y2=111已知点A（1，1）和点B（1，3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=712（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一
26、个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）13已知函数f（x）=，当t0，1时，f（f（t）0，1，则实数t取值范围是14已知函数f（x）=|x1|1|，若关于x的方程f（x）=m（mR）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是（3，0）二、解答题15. （本小题满分14分）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）求角A； （2）若a=2，求ABC面积S的最大值.解：（1）由已知得 4分 又在锐角ABC中，所以A=60 7分（2）因为a=2，A=60所以 8分 而 10分 又，所
27、以ABC面积S的最大值等于。14分16（本小题满分14分）如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD平面ABE，BEBC，F为CE上的一点，且BF平面ACE （1）求证：AEBE； （2）求证：AE平面BFDGBADCFE证明：（1）平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABE=AB，ADAB，AD平面ABE，ADAEADBC，则BCAE3分又BF平面ACE，则BFAEBCBF=B，AE平面BCE，AEBE 7分（2）设ACBD=G，连接FG，易知G是AC的中点，BF平面ACE，则BFCE而BC=BE，F是EC中点 10分在ACE中，FGAE，AE平面BFD，FG平面BFD， AE平面BFD
28、14分17.（本题满分14分） 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距与车速和车长的关系满足：（为正的常数），假定车身长为，当车速为时，车距为2.66个车身长.(5) 写出车距关于车速的函数关系式;(6) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？解：因为当时，所以， . 6分设每小时通过的车辆为，则即 ，当且仅当，即时，取最大值13分答：当时，大桥每小时通过的车辆最多14分18（本小题满分16分）给定圆:及抛物线:,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,求直线的方程.解：圆
29、的方程为,则其直径长,圆心为 ,设的方程为,即,代入抛物线方程得:,设，有,则. 故 ,因此. 8分据等差，, 所以，即,，14分即：方程为或. 16分19.(本小题满分16分)已知以a为首项的数列满足：(1)若06，求证：06; (2)若a，kN*，求使对任意正整数n都成立的k与a；解：（1）当时，则，当时，则,故，所以当时，总有8分 （2）当时，故满足题意的N*同理可得，当或4时，满足题意的N*当或6时，满足题意的N* 10分当时，故满足题意的k不存在 12分当时，由（1）知，满足题意的k不存在 14分综上得：当时，满足题意的N*； 当时，满足题意的N*16分20（本小题满分16分）已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线的斜率（1）若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；（2）当 时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：解：（1）由题意，,所以 2分当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值 因为函数在区间（其中）上存在极值，所以，得即实数的取值范围是 4分（2）由得，令，则 6分令，则，因为所以,故在上单调递增8分所以,从而,在上单调递增, 所以实数的取值范围是 10分（3）由(2) 知恒成立, 即 12分令则，14分所以， ，,将以上个式子相加得：故 16分
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