1、四川省泸州市泸县第五中学2020届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先计算集合，再计算得到答案.【详解】，故.故选【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题型.2.若是虚数单位,在复平面内复数表示的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】运用复数除法的运算法则,化简复数,最后选出正确答案.【详解
2、】因为,所以复平面内复数表示的点的坐标为,该点在第四象限.故选D【点睛】本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题.3.命题“且”的否定形式是（ ）A. 且B. 或C. 且D. 或【答案】B【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“n0N*，f（n0）N*且f（n0）n0”的否定形式是：nN*，f（n）N*或f（n）n故选B【点睛】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4.设中边上的中线为，点O满足，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知关系式及向量的加减
3、法运算计算即可【详解】中边上的中线为，点O满足，如图所示：由，且为的中点，所以为的三等分点靠近点，且，又，从而，即，所以+=.故选：A【点睛】本题考查向量的加减法运算，三角形中线的性质应用，平面向量基本定理的应用，属于中档题5.已知则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式()即可求解.【详解】故选D.【点睛】本题考查三角恒等变换求值，考查二倍角余弦公式、诱导公式.把待求转化为已知需要增倍、降次，自然可以联想到二倍角公式.6.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”
4、，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选B【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.7.我们常用的数是十进制数，如，数要用10个
5、数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53那么十二进制数66用二进制可表示为（ ）A. 1001110B. 1000010C. 101010D. 111000【答案】A【解析】【分析】先将十二进制数66化为十进制数，再将十进制数化为二进制即可.【详解】十二进制数 等于十进制的数.十进制的数.故十进制的数等于二进制的数.故选A.【点睛】本题考查进制化二进制，其方法是，先将进制化十进制，再将其化为二进制.属于基础题.8.将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像
6、向左平移个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到的表示并计算出的结果.【详解】因为变换平移后得到函数，由条件可知为奇函数，所以，.故选C【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数为奇函数时，为偶函数时.9.已知点是圆上任意一点，则点到直线距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出圆心到直线距离的最大值，再加上圆的半径可得出点到直线的距离的最大值.【详解】圆的圆心坐标为，半
7、径为，点到直线的距离为，因此，点到直线距离的最大值为.故选D.【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为，圆的半径为，则圆上一点到直线的距离的最大值为，最小值为，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题.10.若函数为R上的奇函数，且当时，则（ ）A. -2B. -3C. -4D. 2【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质可知解得，利用奇函数可知即可求解.【详解】为R上的奇函数，解得，时，；.故选：A【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，对数的运算，属于中档题.11.已知等比数列满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据数列
8、为等比数列可得，可证明是以为首项，为公比的新等比数列，根据等比数列前n项和计算即可.【详解】，整理得及解得或-3（舍）,对于，设，则，其本质是以为首项，为公比的新等比数列的前项和,故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式与前项和公式，考查了等比数列基本量的运算，属于中档题.12.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理可知，从而求得；根据棱锥体积公式可知，若三棱锥体积最大,则可得点到平面的最大距离，在中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径，代入球的表面积公式可求
9、得结果.【详解】， 如下图所示：若三棱锥体积最大值为，则点到平面的最大距离：即：设球的半径为，则在中：，解得：球的表面积：故选【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面的距离，根据外接球的性质可确定球心的大致位置，通过勾股定理构造关于半径的方程求得外接球半径.第卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知，满足，则的最大值为_.【答案】5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示平面区域(如图阴影所示)，化直线为 当直线平移过点A时，z
10、取得最大值，联立直线得A（1,2），故故答案为5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题14.已知为数列的前项和，且，则_.【答案】853【解析】【分析】由与的关系可得,即,进而得到是以为首项,为公比的等比数列,可得,令,即可得到的值【详解】由题,即,则,是以为首项,为公比的等比数列,即当时,故答案853【点睛】本题考查等比数列通项公式,考查由与的关系求,根据,可构造数列为等比数列,公比为15.已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为_【答案】.【解析】【分析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出的垂直平分线方程，令，可得圆心坐标，从而
11、可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.16.已知抛物线的焦点为F，定点若射线FA与抛物线C相交于点M（点M在F、A中间），与抛物线C的准线交于点N，则_.【答案】【解析】【分析】由直线斜率公式可得，则在中，即，再由，运算即可得解.【详解】解：如图所示，因为抛物线方程为，所以焦点,准线方程为因为定点，所以直线FA的斜率，过作于点，在中，所以,所以,因为,所以,故答案为：. 【点睛】本题考查
12、了直线与抛物线的位置关系及直线斜率的运算，重点考查了运算能力，属中档题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知向量，函数.（1）求函数最小正周期；（2）若，求的值；【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）首先利用向量数量积得到，利用三角函数恒等变形得到 ，然后利用周期公式求周期；（2）由（1）可知，求的值，然后利用求解.【详解】（1），函数的最小正周期.（2）， ， ，.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，意在考查变形与转化，以及计算求解能力，属于基
13、础题型.18.习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：敬老院ABCDEFGHIK满意度x（%）20342519262019241913投资原y（万元）80898978757165626052（1）求投资额关于满意度的相关系数；（2）我们约定：投资额关于满意度的相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”
14、制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额关于满意度的线性回归方程（系数精确到0.1）参考数据：，.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.线性相关系数.【答案】(1)0.72；(2) 【解析】【分析】（1）由题意，根据相关系数的公式，可得的值，即可求解；（2）由（1）可知，得投资额关于满意度没有达到较强线性相关，利用公式求得的值，即可得出回归直线的方程.【详解】（1）由题意，根据相关系数的公式，可得.（2）由（1）可知，因为，所以投资额关于满意度没有达到较强线性相关，所以要“末位淘汰”掉K敬老院.重新计算得，
15、所以，.所以所求线性回归方程为.【点睛】本题主要考查了回归分析的应用，同时考查了回归系数的计算，以及回归直线方程的求解，其中解答中利用公式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，是的中点.（1）证明：；（2）若，求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1) 取中点，连接，,证平面可得.(2)作平面的垂线，或利用三棱锥的等积转换求解.【详解】（1）证明：取中点，连接，.为等边三角形，.，是的中点，为中点，.又，平面.（2）方法一：取中点，连接CM.为等边三角形，.平面平面，平面.又，平面.，为等边三角形，
16、.是的中点，到平面的距离的倍等于到平面的距离.到平面的距离为.方法二：由平面平面，可得平面，则.，为等边三角形，则.是的中点，.点到平面的距离为，设到平面的距离为，由，解得.【点睛】本题考查空间垂直关系的转化，空间距离的求解.面面垂直、线面垂直、线线垂直之间可以互相转化，要合理创造转化的条件.求点面距离的常用方法是作证求和等积转换.20.已知抛物线：，直线：.（1）若直线与抛物线相切，求直线的方程；（2）设，直线与抛物线交于不同的两点，若存在点，满足，且线段与互相平分（为原点），求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用即可求解（2）由直线与抛
17、物线相交可得：，由（1）可得，由线段OC与AB互相平分可得四边形OACB为平行四边形，得到C，利用得到，即：=-1，再将，代入即可求得，对的范围分类，利用基本不等式即可得解【详解】解：（1）法1：由得 所以，所求的切线方程为 法2：因为直线恒过（0，-4），所以由得设切点为，由题可得，直线与抛物线在轴下方的图像相切，则 所以切线方程为，将坐标（0，-4）代入得即切点为（8，-8），再将该点代入得，所以，所求的切线方程为 （2）由得且，所以， 因为线段OC与AB互相平分，所以四边形OACB为平行四边形，即C由得， 法1：所以=-1又，又所以，所以法2：因为 又，即 【点睛】本题主要考查了直线与抛
18、物线相切的关系，还考查了韦达定理及向量的坐标运算，考查了两直线垂直的斜率关系，还考查了分类思想及利用基本不等式求最值，考查化归能力及计算能力，属于难题21.已知函数讨论函数的单调性；设，对任意的恒成立，求整数的最大值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）整数的最大值-2【解析】【分析】(1)根据的取值范围，分类讨论的单调性；(2)先考虑特殊情况：，然后分析，借助的单调性以及恒成立对应的最值得到关于的不等式，构建新函数分析新函数的零点与之间的关系，从而求解出的最大整数值.【详解】（1）因为，所以，当 时，在上单调递增，当时，在上单调递增，当时，令，解得：，令，解得：，所以在上递增，在上递减
19、，综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减；（2）当时，则，不满足恒成立若，由（1）可知，函数在上递增，在递减所以，又因为恒成立，所以恒成立， 令，所以，所以在上递增，又因为，所以存在唯一的使，当时，当时，所以，所以且，又因为，所以，所以整数的最大值为.【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，难度较难.(1)导函数中含有参数时，在分析函数单调性时要注意是否需要对参数分类讨论；(2)恒成立问题可以通过函数的最值进行分析，根据最值满足的不等式构造新函数，分析出其中参数范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线的参数
20、方程为（为参数），以直角坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹.若直线的极坐标方程为，求曲线上的点到直线的最大距离.【答案】（1）,表示以为圆心，为半径的圆 ；（2）.【解析】【分析】(1)把曲线的参数方程利用平方关系转化为普通方程，再结合转化为极坐标方程；(2)把直线的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离得到结果.【详解】解：由得两式两边平方并相加，得.所以曲线表示以为圆心，为半径的圆.将代入得，化简得.所以曲线的极坐标方程为.由，得，即，得.所以直线的直角坐标方程为.因为圆心到直线的距离.所以曲线上的点到直线的最大距离
21、为.【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式， 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题23.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范围，判断，为正，去掉绝对值，转化为在时恒成立,得到，在恒成立，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，由，得，即，或，即，或，即，综上：或，所以不等式的解集为.（2），因为，所以，又，得.不等式恒成立，即在时恒成立，不等式恒成立必须，解得.所以，解得，结合，所以，即的取值范围为.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.
