1、第一课 任意角的三角函数及诱导公式【网络体系】【核心速填】1.与角终边相同的角的集合为2.角度制与弧度制的换算3.弧度制下扇形的弧长和面积公式(1)弧长公式：l=_.(2)面积公式：|r4.任意角的三角函数(1)定义1：设任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin=_，cos=_，(x0).(2)定义2：设任意角的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，r=|OP|=_，则sin=_，cos=_，tan=_(x0).yx5.同角三角函数基本关系式_+_=1；_=tan.sin2cos26.诱导公式(1)公式：_，_，_，kZ，_，_，_，sincostan-sin-costan _，_，_，
2、_，_，_，-sincos-tansin-cos-tan _，_，_，_.(2)记忆口诀：奇_偶_，符号看_.cossincos-sin变不变象限【易错提醒】1.关注角的概念的推广(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化.如小于90的角可能是零角、锐角或负角.(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系.如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角.2.确定角所在象限的关注点由三角函数值符号确定角的象限时，不要忽视的终边可能落在坐标轴上，如sin0时，终边在第三、四象限或y轴负半轴上.3.关注正切函数的定义域(1)正切函数y=tanx的定义域为不可写为(2)有关正切的公式(同角三
3、角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件.4.平方关系应用的关注点由平方关系sin2+cos2=1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论.5.正确应用诱导公式(1)明确诱导公式的基本功能：将的三角函数值化为的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用.(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化.类型一象限角及终边相同的角【典例1】1.(2015六安高一检测)已知是锐角，那么2是()A.第一象限角 B.第二象限角C.小于180的正角D.第一或第二象限角2.已知=1690，(1)把表示成2k+的形式，其中kZ，0，2).(2)求，使与的终边相同，且(-4
4、，-2).【解析】1.选C.因为是锐角，所以所以02，所以2可能是第一或第二象限角，也可能是终边落在y轴非负半轴上的角，故选C.【延伸探究】典例1中“锐”改“钝”，那么是第几象限角？【解析】因为是钝角，所以，所以所以是第一象限角.【方法技巧】1.灵活应用角度制或弧度制表示角(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用.(2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为，角度数为n，则2.象限角的判定方法(1)根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.(2)将角转化到0360范围内.在直角坐标平面内，0360范围内没有两个角终边是
5、相同的.【拓展延伸】理解角的概念的三个“明确”【变式训练】如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.【解析】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成.故满足条件的角的集合为(2)若将终边为OA的一个角改写为，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转rad而得到，所以满足条件的角的集合为(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为【补偿训练】1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(
6、)A.2k+45(kZ)B.k360+，kZC.k360-315(kZ)D.k+，kZ【解析】选C.角度与弧度不能混用，故A、B错误.k+，kZ，表示终边落在直线y=x上的角，故D错误.=45，-315=-360+45，故45与-315终边相同，所以与终边相同的角可表示为k360-315，kZ.2.与-2002终边相同的最小正角是_.【解析】因为-2002=-6360+158，所以与-2002终边相同的角可表示为k360+158，kZ，其中最小正角是158.答案：158类型二弧度制下扇形弧长和面积的计算【典例2】(2015吉安高一检测)已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB
7、所对的圆心角(0)的大小.(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)因为OA=OB=AB=10，所以AOB是等边三角形，所以=.(2)所在的扇形弧长l=|r=10=，所在的扇形面积等边AOB中，AB边上的高所以所以所在的弓形的面积【方法技巧】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略及其注意点(1)解题策略：明确弧度制下弧长公式l=|r，扇形的面积公式是S=lr=|r2(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角).涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.(2)注意点：在弧度制中的弧
8、长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.看清角的度量制，选用相应的公式.扇形的周长等于弧长加两个半径长.【变式训练】(1)一扇形的圆心角为72，半径等于20cm，求扇形的弧长以及扇形的面积.(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.(只计算02之间的角)【解析】(1)设圆心角为，则弧长公式：l=|r.扇形面积公式：因为所以扇形弧长扇形面积【补偿训练】1.若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是()A.4cm2B.2cm2C.4cm2D.2cm2【解析】选A.设此圆心角所夹的扇形的半径为r，则2r=4，所以r=2cm，S扇=|r2=222=
9、4(cm2).2.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，ACB=，则劣弧的长为_.【解析】连接OA，OB，因为ACB=，所以AOB=，AOB为等边三角形，故圆O的半径r=AB=4.劣弧的长为r=.答案：类型三任意角三角函数的定义【典例3】1.(2015张掖高一检测)已知角的始边与x轴正半轴重合，终边在射线3x-4y=0(x0)上，则sin-cos=_.2.点P从(1，0)出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为_.3.已知是第二象限角，在第二象限内将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，得到第二象限角的终边，如图所示，利用单位圆中的三角函数线比较下列各组数的大小.
10、(1)sin，sin.(2)cos，cos.(3)tan，tan.【解析】1.在射线3x-4y=0(x0)上任取一点P(4a，3a)，aBF，OAOB，CPsin.(2)coscos.(3)tan0，cos0，点P在第四象限；当是第三象限角时，sin0，cos0，点P在第三象限；当是第四象限角时，sin0，点P在第二象限.答案：四 三 二【补偿训练】1.若角的终边经过点则sin+cos的值为_.2.已知角的终边过点P(12，a)，且求sin+cos的值.【解析】1.由题意知，角的终边与单位圆交点坐标为，所以所以答案：2.因为角的终边过点P(12，a)，且，所以所以a=5，所以点P(12，5)到
11、原点的距离r=|OP|=13，所以类型四同角三角函数的基本关系【典 例 4】1.(2015南 昌 高 一 检 测)已 知 tan=3，则 sin2-3sincos+4=()A.1B.2C.3D.42.(1)已知sin=，并且是第二象限角，求cos和tan.(2)已知cos=-，求sin和tan.【解析】1.选D.原式2.(1)又因为是第二象限角，所以cos0，所以(2)因为所以是第二或第三象限角，当是第二象限角时，当是第三象限角时，【方法技巧】1.已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin=m，可以先应用公式 求得cos的值，再由公式 求得tan的值.(2)若已知cos=m，可以先
12、应用公式 求得sin的值，再由公式 求得tan的值.(3)若已知tan=m，可以应用公式 及sin2+cos2=1，求得 的值.2.已知tan求关于sin，cos齐次式值的方法(1)已知tan=m，可以求 的值，将分子分母同除以cos或cos2，化成关于tan的式子，从而达到求值的目的.(2)对于asin2+bsincos+ccos2的求值，可看成分母是1，利用1=sin2+cos2进行代替后分子分母同时除以cos2，得到关于tan的式子，从而可以求值.【变式训练】1.(2015淮安高一检测)sin+cos=，(0，)，则tan=_.【误区警示】解本题时容易忽视对取值范围的判断，导致产生增解.
13、【补偿训练】1.若sincos=，则 的值是()A.-2B.2C.2D.【解析】选B.因为所以 解得tan=1，所以原式=2.若为第二象限角，则 =()A.sinB.-sinC.cosD.-cos【解析】选B.因为为第二象限角，则cos0，则|sincos|=-sincos，所以原式=-sin.类型五诱导公式的应用【典例5】1.已知sin(-)=log8，且 ，则tan(2-)的值为()2.(2015重庆高一检测)已知为第三象限角，(1)化简f()；(2)若 求f()的值.【解析】1.选B.sin(-)=sin=log8=-，tan(2-)=tan(-)【方法技巧】用诱导公式化简求值的方法(1
14、)对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简.(2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用.2.(2015黄冈高一检测)下列三角函数：其中函数值与sin的值相同的是()A.B.C.D.【解析】选C.因为不满足条件.满足条件.不满足条件.故不满足条件.故满足条件.2.在下列各式中：sin(+)=-sin；cos(-+)=-cos(-)；sin(-2)=-sin；cos(-)=cos(+).正确的序号是_.【解析】对于式，cos(-+)=cos-(-)=cos(-)，故错误，而由诱导公式可判定正确.答案：
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